115學測數學A 第2題 詳解

答案(1)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   取整函數估值

   $[a]$ 是不超過 $a$ 的最大整數（高斯符號）。這題最有效率的做法：不必分析函數性質，直接把 $f(-20)$、$f(0)$、$f(1)$ 三個值算出來比大小。估 $[\sqrt{N}]$ 時，只要找出 $N$ 夾在哪兩個完全平方數之間。
2. 2

   算 f(0)

   $f(0)=[\sqrt{99}]+[\sqrt{99}]=2[\sqrt{99}]$。因為 $9^2=81\le 99<100=10^2$，所以 $[\sqrt{99}]=9$，得 $f(0)=18$。
3. 3

   算 f(1)

   $f(1)=[\sqrt{98}]+[\sqrt{100}]$。$81\le 98<100$ 給 $[\sqrt{98}]=9$；$\sqrt{100}=10$ 剛好是整數，$[\sqrt{100}]=10$。所以 $f(1)=9+10=19$。
4. 4

   算 f(-20)

   $f(-20)=[\sqrt{119}]+[\sqrt{79}]$。$10^2=100\le 119<121=11^2$ 給 $[\sqrt{119}]=10$；$8^2=64\le 79<81=9^2$ 給 $[\sqrt{79}]=8$。所以 $f(-20)=10+8=18$。
5. 5

   答案選 (1)

   比較三值：$f(-20)=18$、$f(0)=18$、$f(1)=19$，即 $f(-20)\le f(0)<f(1)$，答案選 (1)。誤選 (2) 的人是憑直覺以為 $x=0$ 時兩個根號都最平均、函數值一定「嚴格」最大，沒發現 $f(-20)$ 與 $f(0)$ 其實相等——取整之後大小關係可能變成等號，一定要實際算出數值。

關鍵觀念：#整數部分 #平方根 #分段比較