115學測數學A 第2題 詳解

取整數・區間判斷 · 單選 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先看題目在問什麼

   題目中的 $[a]$ 是「不超過 $a$ 的最大整數」，也就是取整數部分。這題要比較 $f(-20)$、$f(0)$、$f(1)$ 的大小，關鍵不是硬算，而是先判斷兩個平方根各自落在哪些整數區間。
2. 2

   算出 $f(0)$

   當 $x=0$，
   $$f(0)=[\sqrt{99}]+[\sqrt{99}]$$
   因為 $9^2=81<99<100=10^2$，所以 $9<\sqrt{99}<10$，故 $[\sqrt{99}]=9$。
   因此
   $$f(0)=9+9=18.$$
3. 3

   算出 $f(1)$

   當 $x=1$，
   $$f(1)=[\sqrt{98}]+[\sqrt{100}]$$
   因為 $9^2=81<98<100=10^2$，所以 $[\sqrt{98}]=9$；而 $\sqrt{100}=10$，所以 $[\sqrt{100}]=10$。
   因此
   $$f(1)=9+10=19.$$
4. 4

   算出 $f(-20)$

   當 $x=-20$，
   $$f(-20)=[\sqrt{119}]+[\sqrt{79}]$$
   因為 $10^2=100<119<121=11^2$，所以 $[\sqrt{119}]=10$；又 $8^2=64<79<81=9^2$，所以 $[\sqrt{79}]=8$。
   因此
   $$f(-20)=10+8=18.$$
5. 5

   比較三個值並選答案

   整理得
   $$f(-20)=18,\quad f(0)=18,\quad f(1)=19.$$所以
   $$f(-20)\le f(0)<f(1).$$
   這正是選項 $(1)$，故答案是 $(1)$。

關鍵觀念：#整數部分 #平方根 #分段比較