115學測數學A 第7題 詳解

聯立不等式・象限判定 · 多選 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   看懂題目在問什麼

   題目要找的是同時滿足 $2x-y-3>0$ 和 $x+2y+1<0$ 的點 $P(x,y)$，可能落在哪些區域。先把不等式改寫成斜率截距式：$y<2x-3$，以及 $y<\frac{-x-1}{2}$。也就是說，點必須同時在兩條直線的下方，最後只要看這個交集會出現在哪些象限。
2. 2

   把條件化成容易看圖的形式

   由 $2x-y-3>0$ 得 $y<2x-3$；由 $x+2y+1<0$ 得 $2y<-x-1$，所以 $y<\frac{-x-1}{2}$。因此可行區域是兩條直線 $y=2x-3$ 與 $y=\frac{-x-1}{2}$ 下方的共同部分。
3. 3

   判斷哪些象限一定有點

   先看第三象限：若 $x<0, y<0$，例如取 $(-1,-2)$，則 $2x-y-3=-2+2-3=-3<0$，不行；但換個點，例如 $(-10,-10)$，有 $2x-y-3=-20+10-3=-13<0$，仍不行，表示不能只靠隨便猜。改用代入不等式來找可行點：令 $x=-1$，則 $y< -5$ 且 $y<0$，取 $(-1,-6)$，可得 $2(-1)-(-6)-3=1>0$，且 $-1+2(-6)+1=-12<0$，所以第三象限有點。再看第四象限：令 $x=1$，則需 $y<-1$ 且 $y<-1$，取 $(1,-2)$，有 $2(1)-(-2)-3=1>0$，且 $1+2(-2)+1=-2<0$，所以第四象限也有點。
4. 4

   排除其他選項

   第一象限若 $x>0,y>0$，則 $x+2y+1>1>0$，不可能滿足 $x+2y+1<0$，所以第一象限不行。第二象限若 $x<0,y>0$，仍可能讓第二式成立，但第一式要 $y<2x-3$；因為 $x<0$ 時 $2x-3< -3$，右邊是負數，而第二象限的 $y>0$ 不可能小於負數，所以第二象限不行。$x$ 軸上則 $y=0$，代入得 $2x-3>0$ 且 $x+1<0$，也就是 $x>\frac32$ 同時 $x<-1$，矛盾，所以不行。
5. 5

   收答案

   因此，同時滿足題目兩個不等式的點 $P(x,y)$ 可能位在第三象限與第四象限。故正確選項為 $(3)(4)$。

關鍵觀念：#不等式 #座標平面 #象限 #聯立條件