115學測數學A 第9題 詳解

T分數・逐項判析 · 多選 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   先看第（一）項

   英文的平均數是 $60$、標準差是 $8$，所以甲生的 T 分數為 $T=50+10\frac{52-60}{8}=50-10=40$，因此這一項正確。
2. 2

   再判第（二）項

   數學科平均數 $\mu=60$、標準差 $\sigma=12$，所以 $T=50+10\frac{S-60}{12}=50+\frac{5S-300}{6}=\frac{5S}{6}$。因此 $T-S=-\frac{S}{6}\le 0$，所以數學的 T 分數不會超過原始成績，這一項正確。
3. 3

   檢查第（三）項

   兩科的原始分數平均要先各自轉成 T 分數平均，但數學與英文的轉換斜率不同，分別是 $\frac{10}{12}$ 和 $\frac{10}{8}$，不是同一個比例。因為轉換規則不同，原始平均較高，不代表 T 分數平均一定較高，所以這一項錯。
4. 4

   判斷第（四）項

   當 $T\ge 40$ 時，$50+10\frac{S-60}{\sigma}\ge 40$，等價於 $S\ge 60-\sigma$。數學的及格原始成績是 $60-12=48$，英文是 $60-8=52$，所以數學及格分數比英文低，這一項正確。
5. 5

   最後看第（五）項

   原始成績的迴歸直線斜率為 $r\cdot\frac{8}{12}$；把兩科都轉成 T 分數後，兩科的標準差都變成 $10$，斜率變為 $r\cdot\frac{10}{10}=r$。兩者斜率不同，所以這一項錯。
6. 6

   整理答案

   正確選項是 $(1)(2)(4)$。

關鍵觀念：#標準化 #平均數 #標準差 #迴歸直線