115學測數學A 第9題 詳解

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逐步解析

1. 1

   化成一次式

   這題考數據標準化（T 分數）與迴歸直線。最省力的切入點：先把兩科的 T 分數都化成原始成績 $S$ 的一次式。數學（$\mu=60,\sigma=12$）：$T=50+10\cdot\dfrac{S-60}{12}=\dfrac{5}{6}S$；英文（$\mu=60,\sigma=8$）：$T=50+10\cdot\dfrac{S-60}{8}=\dfrac{5}{4}S-25$。之後每個選項都用這兩條式子判斷。
2. 2

   判 (1)(2)

   (1)：英文 $S=52$ 代入 $T=\dfrac{5}{4}\times 52-25=65-25=40$，(1) 正確。(2)：數學 $T=\dfrac{5}{6}S$，因為原始成績 $S\ge 0$，恆有 $\dfrac{5}{6}S\le S$，T 分數不會超過原始成績，(2) 正確。
3. 3

   判 (3) 反例

   (3)：兩科換算的斜率不同（$\dfrac{5}{6}$ 與 $\dfrac{5}{4}$），原始平均較高不保證 T 分數平均較高。舉反例：乙生數學 $100$、英文 $0$，原始平均 $50$，T 分數為 $\dfrac{500}{6}\approx 83.3$ 與 $-25$，平均約 $29.2$；丙生數學 $0$、英文 $90$，原始平均 $45$，T 分數為 $0$ 與 $87.5$，平均 $43.75$。乙的原始平均較高、T 平均反而較低，(3) 錯誤。
4. 4

   判 (4)

   (4)：及格門檻 $T\ge 40$。數學：$\dfrac{5}{6}S\ge 40$ 得 $S\ge 48$；英文：$\dfrac{5}{4}S-25\ge 40$ 得 $S\ge 52$。數學及格的原始成績門檻 $48$ 比英文的 $52$ 低，(4) 正確。
5. 5

   判 (5)

   (5)：迴歸直線斜率 $=r\cdot\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}$（$r$ 為相關係數）。原始成績「數學對英文」的斜率為 $r\cdot\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}r$；化成 T 分數後兩科標準差都變成 $10$，斜率為 $r\cdot\dfrac{10}{10}=r$（正向線性變換不改變 $r$）。兩斜率相差 $\dfrac{3}{2}$ 倍，並不相同，(5) 錯誤。
6. 6

   答案 (1)(2)(4)

   正確的是 (1)(2)(4)，答案選 (1)(2)(4)。核心觀念：標準化是各科「各自」的一次變換，跨科比較（(3)）或牽涉兩科尺度的量（(5) 的迴歸斜率）都會因為 $\sigma$ 不同而改變。

關鍵觀念：#標準化 #平均數 #標準差 #迴歸直線