115學測數學A 第13題 詳解

條件機率・貝氏思路 · 選填 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先抓題目在問什麼

   設 $M$ 表示「有碩士學位」，$B$ 表示「只有學士學位」，$P$ 表示「通過英聽檢定」。題目要的是 $P(M\mid P)$，也就是「已知通過英聽後，這位老師是碩士的機率」。
   
   由題意可得 $P(B)=\frac{1}{4}$，$P(M)=\frac{3}{4}$，$P(P\mid B)=\frac{1}{5}$，$P(P\mid M)=\frac{3}{5}$。
2. 2

   先算「通過英聽」的總機率

   用全機率公式：
   
   $P(P)=P(B)P(P\mid B)+P(M)P(P\mid M)$
   
   $=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{5}+\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{5}$
   
   $=\frac{1}{20}+\frac{9}{20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$。
3. 3

   再算「通過且是碩士」的機率

   我們要的是 $P(M\cap P)$。由乘法公式：
   
   $P(M\cap P)=P(M)P(P\mid M)=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{20}$。
4. 4

   套貝氏定理收答案

   因此
   
   $P(M\mid P)=\dfrac{P(M\cap P)}{P(P)}=\dfrac{\frac{9}{20}}{\frac{1}{2}}=\frac{9}{10}$。
   
   所以通過英聽檢定的教師中，有碩士學位的條件機率為 $\boxed{\frac{9}{10}}$。

關鍵觀念：#條件機率 #貝氏定理 #機率樹狀圖