115學測數學A 第13題 詳解

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逐步解析

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   鎖定考點

   本題考條件機率：已知「抽到的教師通過英聽檢定」，回頭問他有碩士學位的機率。條件機率的分母必須換成「通過檢定」這個事件，而不是全體教師。
2. 2

   設數列表

   設全校 $20$ 位教師（取 $4$ 與 $5$ 的最小公倍數，方便整數化）：學士 $20\times\dfrac{1}{4}=5$ 人、碩士 $20\times\dfrac{3}{4}=15$ 人。通過英聽：學士 $5\times\dfrac{1}{5}=1$ 人、碩士 $15\times\dfrac{3}{5}=9$ 人。
3. 3

   算條件機率

   通過英聽共 $1+9=10$ 人，其中碩士 $9$ 人，所求 $=\dfrac{9}{10}$。用公式代回檢查：$P(\text{碩士}\mid\text{通過})=\dfrac{\frac{3}{4}\times\frac{3}{5}}{\frac{1}{4}\times\frac{1}{5}+\frac{3}{4}\times\frac{3}{5}}=\dfrac{\frac{9}{20}}{\frac{10}{20}}=\dfrac{9}{10}$，兩種算法一致。
4. 4

   寫下答案

   $\dfrac{9}{10}$ 已是最簡分數。答案為 $\dfrac{9}{10}$。

關鍵觀念：#條件機率 #貝氏定理 #機率樹狀圖

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