115學測數學A 第12題 詳解

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逐步解析

1. 1

   鎖定考點

   本題考三次函數圖形的對稱中心（即反曲點）：$y=ax^3+bx^2+cx+d$ 的對稱中心 $x$ 坐標為 $-\dfrac{b}{3a}$。設 $f(x)=x^3+px^2+qx+r$，由 $f(x)-g(x)=2x^3+2x$ 得 $g(x)=-x^3+px^2+(q-2)x+r$——注意 $g$ 的首項係數是 $-1$。
2. 2

   選項(1)

   $\Gamma_1$ 與 $\Gamma_2$ 的交點滿足 $f(x)=g(x)$，即 $f(x)-g(x)=2x^3+2x=0\Rightarrow2x(x^2+1)=0$，實根只有 $x=0$。兩圖形恰交於一點而非三點，(1) 錯誤。
3. 3

   選項(2)(3)

   對稱中心 $x$ 坐標：$a_1=-\dfrac{p}{3}$；$g$ 首項係數為 $-1$，故 $a_2=-\dfrac{p}{3\cdot(-1)}=\dfrac{p}{3}$。於是 $a_1+a_2=0$ 恆成立，可唯一確定，(2) 正確。$y$ 坐標：$b_1=f\left(-\dfrac{p}{3}\right)=\dfrac{2p^3}{27}-\dfrac{pq}{3}+r$、$b_2=g\left(\dfrac{p}{3}\right)=\dfrac{2p^3}{27}+\dfrac{pq}{3}-\dfrac{2p}{3}+r$，故 $b_1+b_2=\dfrac{4p^3}{27}-\dfrac{2p}{3}+2r$ 會隨 $p$、$r$ 改變，無法唯一確定，(3) 錯誤。
4. 4

   選項(4)

   $a_1=a_2\Leftrightarrow-\dfrac{p}{3}=\dfrac{p}{3}\Leftrightarrow p=0$。此時 $b_1=f(0)=r$、$b_2=g(0)=r$，必有 $b_1=b_2$，(4) 正確。
5. 5

   選項(5)

   由上一步的式子，$b_1=b_2\Leftrightarrow-\dfrac{pq}{3}=\dfrac{pq}{3}-\dfrac{2p}{3}\Leftrightarrow2p(q-1)=0$，即 $p=0$ 或 $q=1$，後者不必有 $p=0$。取 $p=3$、$q=1$、$r=0$：$f(x)=x^3+3x^2+x$、$g(x)=-x^3+3x^2-x$，代回檢查得 $b_1=f(-1)=1$、$b_2=g(1)=1$，$b_1=b_2$ 但 $a_1=-1\ne1=a_2$，(5) 錯誤。答案選 (2)(4)。

關鍵觀念：#三次函數 #反曲點 #多選題判析

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