115學測數學A 第12題 詳解

三次中心・對稱判析 · 多選 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   設出標準式

   先把 $f(x)$ 寫成 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$。因為已知 $f(x)-g(x)=2x^3+2x$，所以 $g(x)=f(x)-(2x^3+2x)=-x^3+ax^2+(b-2)x+c$。
2. 2

   找對稱中心

   三次函數的對稱中心就是反曲點。對 $f$，有 $f''(x)=6x+2a$，令其為零得 $a_1=-\frac{a}{3}$；對 $g$，有 $g''(x)=-6x+2a$，令其為零得 $a_2=\frac{a}{3}$。
3. 3

   逐項判斷（一）（二）

   (1) 兩圖交點滿足 $f(x)=g(x)$，也就是 $2x^3+2x=0$，得 $2x(x^2+1)=0$，只有實根 $x=0$，所以只交於一點，不是三點，錯。
   (2) $a_1+a_2=-\frac{a}{3}+\frac{a}{3}=0$，不管 $a$ 是多少都固定，因此可唯一確定，對。
4. 4

   逐項判斷（三）（四）

   (3) $b_1$、$b_2$ 分別是兩個反曲點的縱座標，會隨 $a,b,c$ 改變，不可能只靠題目固定成一個值，所以錯。
   (4) 若 $a_1=a_2$，則 $-\frac{a}{3}=\frac{a}{3}$，可得 $a=0$。此時兩個中心都在 $x=0$，所以 $b_1=f(0)=c$，$b_2=g(0)=c$，因此 $b_1=b_2$，對。
5. 5

   逐項判斷（五）

   (5) 若 $b_1=b_2$，令 $t=\frac{a}{3}$，把兩個中心代入可化成 $2t(1-b)=0$。這表示只要 $b=1$，即使 $t\neq 0$，也可能有 $b_1=b_2$，但此時不一定 $a_1=a_2$，所以錯。

關鍵觀念：#三次函數 #反曲點 #多選題判析