115學測數學A 第11題 詳解

函數圖形・交點判讀 · 多選 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先把交點條件寫出來

   交點要同時滿足
   $$y=\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right),\qquad y=mx+1$$
   所以必須解
   $$\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)=mx+1.$$
   這題的核心，不是硬算所有交點，而是利用餘弦圖形的性質、直線的對稱與特殊值來判斷選項。
2. 2

   判斷選項(1)

   選項(1)說：當 $m>0$ 時，$L_m$ 和 $\Gamma$ 的交點 $x$ 坐標皆為負。
   
   但其實不對。先看 $x=0$：
   $$\Gamma\text{ 上 }y=\cos 0=1,$$
   而 $L_m$ 在 $x=0$ 時也有
   $$y=m\cdot 0+1=1.$$
   所以不管 $m$ 是正是負，直線 $L_m$ 一定通過點 $(0,1)$，這就是交點之一，$x=0$ 不是負數。
   
   因此(1)錯。
3. 3

   判斷選項(2)

   設 $(a,b)$ 是 $L_m$ 與 $\Gamma$ 的交點，則
   $$b=\cos\left(\frac{\pi}{2}a\right)=ma+1.$$
   要證明 $(-a,b)$ 是 $L_{-m}$ 與 $\Gamma$ 的交點，只要同時檢查它在兩條圖形上。
   
   先看曲線：
   $$\cos\left(\frac{\pi}{2}(-a)\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{2}a\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}a\right)=b,$$
   因為餘弦是偶函數。
   
   再看直線：
   $$(-m)(-a)+1=ma+1=b.$$
   所以 $(-a,b)$ 同時滿足 $y=\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$ 和 $y=-mx+1$，確實是 $L_{-m}$ 與 $\Gamma$ 的交點。
   
   因此(2)對。
4. 4

   判斷選項(3)

   題目說能否找到 $m
   e 0$，使$L_m$和$\Gamma$交於$\left(\frac{20}{3},\frac12\right)$。
   
   先看曲線值：
   $$\cos\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{20}{3}\right)=\cos\left(\frac{10\pi}{3}\right).$$
   因為
   $$\frac{10\pi}{3}=2\pi+\frac{4\pi}{3},$$
   所以
   $$\cos\left(\frac{10\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac12.$$
   但題目給的點 $y=\frac12$，和曲線上的值不符。
   
   因此這個點根本不在 $\Gamma$ 上，不可能是交點，(3)錯。
5. 5

   判斷選項(4)

   若 $L_m$ 與 $\Gamma$ 有一交點在直線 $y=-1$ 上，表示交點的 $y$ 座標是 $-1$。
   
   因為曲線上
   $$y=\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)=-1,$$
   所以必有
   $$\frac{\pi}{2}x=(2k+1)\pi$$
   其中 $k$ 為整數，故
   $$x=4k+2.$$
   再代回直線 $y=mx+1$，由 $y=-1$ 得
   $$-1=m(4k+2)+1,$$
   所以
   $$m(4k+2)=-2,$$
   $$m=-\frac{1}{2k+1}.$$
   因此
   $$\frac{1}{m}=-(2k+1),$$
   是奇數。
   
   所以(4)對。
6. 6

   判斷選項(5)

   若 $L_m$ 與 $\Gamma$ 有一交點在 $x$ 軸上，表示交點的 $y$ 座標是 $0$。
   
   因為曲線上
   $$\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)=0,$$
   所以
   $$\frac{\pi}{2}x=\frac{\pi}{2}+k\pi,$$
   故
   $$x=2k+1,$$
   也就是奇數。
   
   代回直線 $y=mx+1$，因為 $y=0$，得
   $$0=m(2k+1)+1,$$
   所以
   $$m=-\frac{1}{2k+1}.$$
   這只表示 $m$ 是某個奇數的負倒數，並不能推出交點個數一定是偶數。
   
   直接舉反例：取 $m=1$，則方程變成
   $$\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)=x+1.$$
   此時 $(0,1)$ 是交點，但不會因為有一個 $x$ 軸交點就必然有偶數個交點；而且題目這句「若有一交點在 $x$ 軸上」只提供存在性，無法保證交點總數為偶數。
   
   更精確地說，當某個交點在 $x$ 軸上時，該點必在 $x=2k+1$，但這不會自動推出整體交點數有固定奇偶性，因此(5)不成立。
7. 7

   結論整理

   逐項判斷後：
   - (1) 錯，因為一定有交點 $(0,1)$。
   - (2) 對，利用餘弦偶函數與直線斜率變號對稱。
   - (3) 錯，指定點不在曲線上。
   - (4) 對，若交點在 $y=-1$，則 $\frac{1}{m}$ 為奇數。
   - (5) 錯，無法推出交點總數必為偶數。
   
   所以正確選項是
   $$\boxed{(2)(4)}.$$

關鍵觀念：#三角函數 #圖形對稱 #聯立方程 #多選題判斷