115學測數學A 第11題 詳解

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逐步解析

1. 1

   鎖定考點

   本題考餘弦函數 $y=\cos\dfrac{\pi}{2}x$（週期為 $4$）與動直線 $y=mx+1$ 的交點分析。關鍵切入：不論 $m$ 為何，$L_m$ 都過 $(0,1)$，而 $\cos0=1$，所以 $(0,1)$ 永遠是 $L_m$ 與 $\Gamma$ 的交點——這個藏在題目裡的交點是全題的鑰匙。
2. 2

   選項(1)(2)

   選項 (1)：$(0,1)$ 是交點，$x$ 坐標為 $0$ 不是負數；再看 $m>0$、$x>0$ 時 $mx+1>1\ge\cos\dfrac{\pi}{2}x$，確實沒有正的交點，但「皆為負」漏掉了 $x=0$，(1) 錯誤。選項 (2)：設 $b=ma+1=\cos\dfrac{\pi a}{2}$，則 $\cos\dfrac{\pi(-a)}{2}=\cos\dfrac{\pi a}{2}=b$（餘弦是偶函數），且 $(-m)(-a)+1=ma+1=b$，故 $(-a,b)$ 同時在 $\Gamma$ 與 $L_{-m}$ 上，(2) 正確。
3. 3

   選項(3)

   交點必須同時落在兩個圖形上。檢查 $\left(\dfrac{20}{3},\dfrac{1}{2}\right)$ 是否在 $\Gamma$ 上：$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{20}{3}\right)=\cos\dfrac{10\pi}{3}=\cos\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{1}{2}$，這個點根本不在 $\Gamma$ 上，任何 $m$ 都不可能讓它成為交點，(3) 錯誤。
4. 4

   選項(4)

   交點落在 $y=-1$ 上 $\Rightarrow\cos\dfrac{\pi}{2}x_0=-1\Rightarrow\dfrac{\pi}{2}x_0=\pi+2k\pi\Rightarrow x_0=4k+2$（$k$ 為整數）。代入直線：$-1=mx_0+1\Rightarrow m=-\dfrac{2}{x_0}$，故 $\dfrac{1}{m}=-\dfrac{x_0}{2}=-(2k+1)$，必為奇數，(4) 正確。
5. 5

   選項(5)

   取在 $x$ 軸上的交點 $(1,0)$：$0=m+1$ 得 $m=-1$，直線為 $y=-x+1$。清點所有交點：$x=0,1,2$ 時直線值 $1,0,-1$ 與 $\cos0,\cos\dfrac{\pi}{2},\cos\pi$ 完全相同，是三個交點；$x<0$ 時直線值大於 $1$、$x>2$ 時直線值小於 $-1$，都碰不到 $\Gamma$；在 $0<x<1$ 上圖形凹口向下、整段在弦的上方，在 $1<x<2$ 上凹口向上、整段在弦的下方，中間沒有新交點。共 $3$ 個交點，$3$ 是奇數，(5) 錯誤。答案選 (2)(4)。

關鍵觀念：#三角函數 #圖形對稱 #聯立方程 #多選題判斷

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