115學測數學A 第10題 詳解

答案(1)(5)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   鎖定考點

   本題考平面向量三合一：內積求夾角、行列式求面積，再加上 $\overline{AB}\parallel\overline{DC}$ 造出的相似三角形。把 $A$ 放在原點，設 $B=(2,-6)$、$D=(1,5)$，五個選項全部用坐標逐一檢驗。
2. 2

   選項(1)(2)

   選項 (1)：$\cos\angle BAD=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AD}|}=\dfrac{2\cdot1+(-6)\cdot5}{2\sqrt{10}\cdot\sqrt{26}}=\dfrac{-28}{4\sqrt{65}}=-\dfrac{7\sqrt{65}}{65}$，(1) 正確。選項 (2)：$\triangle ABD$ 面積 $=\dfrac{1}{2}\left|2\cdot5-(-6)\cdot1\right|=\dfrac{1}{2}\cdot16=8\ne9$，(2) 錯誤。
3. 3

   抓相似比

   $\triangle ABE=3$、$\triangle ABD=8$，故 $\triangle ADE=8-3=5$。兩三角形同以 $A$ 為頂點、底在 $\overline{BD}$ 上，得 $BE:ED=3:5$。又 $AB\parallel DC$ 使 $\triangle EAB\sim\triangle ECD$，所以 $AB:DC=BE:ED=3:5$，即 $\overrightarrow{DC}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}$，$C=(1,5)+\dfrac{5}{3}(2,-6)=\left(\dfrac{13}{3},-5\right)$。
4. 4

   選項(3)(4)

   選項 (3)：$AE:EC=AB:DC=3:5$，故 $\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{13}{3},-5\right)=\left(\dfrac{13}{8},-\dfrac{15}{8}\right)\ne\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\right)$，(3) 錯誤。選項 (4)：$\triangle ABC$ 與 $\triangle ABD$ 同底 $\overline{AB}$、等高（$C$、$D$ 都在與 $\overline{AB}$ 平行的直線上），面積同為 $8$，故 $\triangle BCE=8-3=5$；$\triangle CDE=3\times\left(\dfrac{5}{3}\right)^2=\dfrac{25}{3}$。四邊形面積 $=3+5+5+\dfrac{25}{3}=\dfrac{64}{3}\ne\dfrac{65}{3}$，(4) 錯誤。
5. 5

   選項(5)

   $\overrightarrow{BC}=\left(\dfrac{13}{3}-2,\,-5-(-6)\right)=\left(\dfrac{7}{3},1\right)$，$BC=\sqrt{\dfrac{49}{9}+1}=\dfrac{\sqrt{58}}{3}$。代回檢查：$\sqrt{58}<\sqrt{64}=8$，故 $BC<\dfrac{8}{3}$，(5) 正確。答案選 (1)(5)。

關鍵觀念：#向量內積 #三角形面積 #相似比

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