115學測數學A 第10題 詳解

平行四邊形・面積比 · 多選 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   一、先判斷角度選項

   由向量 $\vec{AB}=(2,-6)$、$\vec{AD}=(1,5)$，可用內積求 $\angle BAD$ 的餘弦。
   $\cos\angle BAD=\dfrac{\vec{AB}\cdot\vec{AD}}{|\vec{AB}||\vec{AD}|}=\dfrac{2\cdot1+(-6)\cdot5}{\sqrt{2^2+(-6)^2}\sqrt{1^2+5^2}}=-\dfrac{28}{2\sqrt{10}\cdot\sqrt{26}}=-\dfrac{7}{\sqrt{65}}=-\dfrac{7\sqrt{65}}{65}$，所以 (1) 正確。
2. 2

   二、算出△ABD面積

   三角形面積可用行列式：
   $[\triangle ABD]=\dfrac12\left|2\cdot5-(-6)\cdot1\right|=\dfrac12\cdot16=8$。
   因此題目說的 9 不對，(2) 錯。
3. 3

   三、用面積比找交點 E

   因為 $AB\parallel DC$，設 $\vec{DC}=t\vec{AB}$。又 $E$ 是對角線交點，且 $[\triangle ABE]=3$、$[\triangle ABD]=8$，所以從同底 $AB$ 看高的比例是 $\dfrac{3}{8}$，得到 $\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{3}{8}$。
   在梯形中對角線交點滿足 $\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{1}{1+t}$，因此 $\dfrac{1}{1+t}=\dfrac{3}{8}$，解得 $t=\dfrac53$。
4. 4

   四、檢查向量 AE 與整個梯形面積

   由 $t=\dfrac53$，可得 $\vec{C}=\vec{D}+\dfrac53\vec{AB}=(1,5)+\dfrac53(2,-6)=\left(\dfrac{13}{3},-5\right)$。
   又因為 $AE:AC=3:8$，所以 $\vec{AE}=\dfrac38\vec{AC}=\dfrac38\left(\dfrac{13}{3},-5\right)=\left(\dfrac{13}{8},-\dfrac{15}{8}\right)$，和題目宣稱的 $(\dfrac32,\dfrac12)$ 不同，故 (3) 錯。
   另外 $[\triangle ACD]=\dfrac53[\triangle ABD]=\dfrac53\cdot8=\dfrac{40}{3}$，所以四邊形面積為 $8+\dfrac{40}{3}=\dfrac{64}{3}$，不是 $\dfrac{65}{3}$，故 (4) 錯。
5. 5

   五、最後比較 BC 長度

   由 $\vec{B}=\vec{A}+\vec{AB}=(2,-6)$，而 \vec{C}=\left(\dfrac{13}{3},-5\right)$，
   所以 $\vec{BC}=\vec{C}-\vec{B}=\left(\dfrac73,1\right)$，
   $|BC|=\sqrt{\left(\dfrac73\right)^2+1^2}=\dfrac{\sqrt{58}}{3}<\dfrac83$。
   因此 (5) 正確，最後答案是 $(1)(5)$。

關鍵觀念：#向量內積 #三角形面積 #相似比