115學測數學A 第14題 詳解

向量・垂直條件 · 選填 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   先抓考點

   題目說向量 $(a,b)$ 與直線 $y=bx-1$ 垂直。線的斜率是 $b$，而向量 $(a,b)$ 的方向和直線垂直，代表它就是這條直線的法向量，所以要把「垂直」翻成代數關係。
2. 2

   寫出垂直條件

   直線 $y=bx-1$ 的方向向量可取為 $(1,b)$，因為斜率是 $b$。既然 $(a,b)$ 與這條直線垂直，就有內積為零：$$(a,b)\cdot(1,b)=0.$$因此 $$a+b^2=0,\quad a=-b^2.$$
3. 3

   把目標式改成單一變數

   我們要求 $a+b$ 的最大值。由 $a=-b^2$，得 $$a+b=-b^2+b=-(b^2-b).$$ 這已經變成只跟 $b$ 有關的二次式。
4. 4

   找最大值

   對 $$f(b)=-b^2+b$$ 完全平方：$$f(b)=-\left(b^2-b\right)=-\left(\left(b-\frac12\right)^2-\frac14\right)=-\left(b-\frac12\right)^2+\frac14.$$ 因為 $\left(b-\frac12\right)^2\ge 0$，所以 $$f(b)\le \frac14.$$ 當 $b=\frac12$ 時取等號，此時 $a=-\left(\frac12\right)^2=-\frac14$，確實可行。
5. 5

   收答案

   所以 $a+b$ 的最大可能值為 $$\boxed{\frac14}.$$

關鍵觀念：#向量內積 #直線斜率 #二次函數極值