115學測數學A 第14題 詳解

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逐步解析

1. 1

   鎖定考點

   本題考兩個基本功的串接：向量與直線垂直的條件、二次式配方求最大值。直線 $y=bx-1$ 的斜率為 $b$，方向向量可取 $(1,b)$；向量與直線垂直，就是與方向向量的內積為 $0$。
2. 2

   垂直條件

   $(a,b)\cdot(1,b)=0\Rightarrow a+b^2=0\Rightarrow a=-b^2$。於是 $a+b=-b^2+b$，問題化成單變數 $b$ 的二次函數求最大值。
3. 3

   配方求極值

   $a+b=-b^2+b=-\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4}$，當 $b=\dfrac{1}{2}$ 時等號成立，此時 $(a,b)=\left(-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2}\right)$ 是非零向量，符合題意。代回檢查：$(a,b)\cdot(1,b)=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=0$，確實垂直。答案為 $\dfrac{1}{4}$。

關鍵觀念：#向量內積 #直線斜率 #二次函數極值

同主題一起複習：多項式與方程式 → 直線與圓錐曲線 → 向量 →