115學測數學A 第15題 詳解

答案$\dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{2}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   鎖定考點

   本題結合等差數列、三點共線與對數律。等差給 $b-a=c-b$，共線給「相鄰兩段斜率相等」；因為兩段的水平距離一樣長，斜率條件會直接簡化成「兩段的對數差相等」。
2. 2

   共線化簡

   斜率相等：$\dfrac{\log4b-\log3a}{b-a}=\dfrac{\log6c-\log4b}{c-b}$。因 $b-a=c-b$，分母約去，得 $\log\dfrac{4b}{3a}=\log\dfrac{6c}{4b}\Rightarrow\dfrac{4b}{3a}=\dfrac{6c}{4b}\Rightarrow16b^2=18ac\Rightarrow8b^2=9ac$。
3. 3

   解出比值

   由等差 $c=2b-a$ 代入：$8b^2=9a(2b-a)\Rightarrow8b^2-18ab+9a^2=0$。令 $t=\dfrac{b}{a}$（三數皆正，且 $a<b$ 故 $t>1$），全式除以 $a^2$：$8t^2-18t+9=0\Rightarrow(2t-3)(4t-3)=0\Rightarrow t=\dfrac{3}{2}$ 或 $t=\dfrac{3}{4}$。
4. 4

   篩根作答

   $t=\dfrac{3}{4}<1$ 與 $a<b$ 矛盾，捨去，故 $\dfrac{b}{a}=\dfrac{3}{2}$。代回檢查：取 $a=2$、$b=3$、$c=4$，三點為 $(2,\log6)$、$(3,\log12)$、$(4,\log24)$，相鄰兩段斜率都是 $\log2$，確實共線。答案為 $\dfrac{3}{2}$。

關鍵觀念：#等差數列 #對數運算律 #點共線

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