115學測數學A 第15題 詳解

共線等差・對數方程 · 選填 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   共線條件翻成等差

   因為 $a,b,c$ 成等差數列，三點的 $x$ 座標等距。三點共線時，$x$ 等距 $\Rightarrow$ $y$ 座標也必成等差，所以
   $$2\log 4b = \log 3a + \log 6c。$$
2. 2

   用對數運算律去掉 log

   左邊 $2\log 4b = \log (4b)^2 = \log 16b^2$；右邊 $\log 3a + \log 6c = \log 18ac$。真數相等：
   $$16b^2 = 18ac \quad\Rightarrow\quad 8b^2 = 9ac。$$
3. 3

   代入等差關係消去 c

   等差給 $2b = a + c$，即 $c = 2b - a$。代入：
   $$8b^2 = 9a(2b - a) \quad\Rightarrow\quad 8b^2 - 18ab + 9a^2 = 0。$$
4. 4

   設比值解二次方程

   設 $r = \dfrac{b}{a}$，兩邊除以 $a^2$：
   $$8r^2 - 18r + 9 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 288}}{16} = \frac{18 \pm 6}{16}，$$
   得 $r = \dfrac{3}{2}$ 或 $r = \dfrac{3}{4}$。
5. 5

   用 a<b<c 篩選

   題目給 $a < b < c$，故 $r = \dfrac{b}{a} > 1$，捨去 $\dfrac{3}{4}$。所以
   $$\frac{b}{a} = \frac{3}{2}。$$

關鍵觀念：#等差數列 #對數運算律 #點共線