115學測數學A 第16題 詳解

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逐步解析

1. 1

   鎖定考點

   本題考二次函數頂點式與圖形平移。$\Gamma$ 交 $x$ 軸於 $A\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$、$B\left(\dfrac{1}{2},0\right)$，由對稱性頂點的 $x$ 坐標是兩根的中點 $0$；代入 $y=1+2x$ 得 $P=(0,1)$。
2. 2

   定出f(x)

   設頂點式 $f(x)=ax^2+1$，代入 $B\left(\dfrac{1}{2},0\right)$：$\dfrac{a}{4}+1=0\Rightarrow a=-4$，故 $f(x)=-4x^2+1$，開口向下。
3. 3

   設平移式

   平移只搬動位置，開口大小與方向不變。設新頂點 $Q=(h,1+2h)$（仍在直線 $y=1+2x$ 上），平移後圖形為 $y=-4(x-h)^2+1+2h$，並要求它通過 $B\left(\dfrac{1}{2},0\right)$。
4. 4

   解出Q

   代入 $B$：$0=-4\left(\dfrac{1}{2}-h\right)^2+1+2h\Rightarrow4h^2-4h+1=1+2h\Rightarrow4h^2-6h=0\Rightarrow2h(2h-3)=0\Rightarrow h=0$ 或 $h=\dfrac{3}{2}$。$h=0$ 時 $Q$ 與 $P$ 重合，與「$P$、$Q$ 為兩相異點」不合，故 $Q=\left(\dfrac{3}{2},4\right)$。
5. 5

   算出PQ

   $PQ=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}-0\right)^2+(4-1)^2}=\sqrt{\dfrac{9}{4}+9}=\sqrt{\dfrac{45}{4}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$。代回檢查：$Q\left(\dfrac{3}{2},4\right)$ 滿足 $4=1+2\cdot\dfrac{3}{2}$，確在直線上。答案為 $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$。

關鍵觀念：#二次函數 #頂點式 #平面平移

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