115學測數學A 第16題 詳解

二次函數・平移 · 選填 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   一、先看這題在考什麼

   題目給兩個關鍵：原圖形 $\Gamma$ 的頂點 $P$ 在直線 $y=1+2x$ 上，而且原圖通過 $A\left(-\frac12,0\right)$、$B\left(\frac12,0\right)$。因為二次函數圖形有兩個 $x$ 軸交點，所以對稱軸就是兩根的中點 $x=0$，頂點一定在 $x=0$ 上。
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   二、把原函數寫出來

   因為零點是 $x=-\frac12$ 與 $x=\frac12$，所以可設
   $$f(x)=a\left(x+\frac12\right)\left(x-\frac12\right)=a\left(x^2-\frac14\right)。$$
   原圖頂點 $P$ 在 $x=0$，所以
   $$P=\left(0,f(0)\right)=\left(0,-\frac a4\right).$$
   又 $P$ 在直線 $y=1+2x$ 上，代入 $x=0$ 得 $y=1$，所以 $P=(0,1)$，因此
   $$-\frac a4=1\Rightarrow a=-4.$$
   所以原函數為
   $$f(x)=-4x^2+1,$$
   頂點是 $P=(0,1)$。
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   三、把平移後的頂點設出來

   設平移向量為 $(u,v)$，則平移後頂點 $Q$ 會是
   $$Q=(u,1+v).$$
   因為 $Q$ 也在直線 $y=1+2x$ 上，所以
   $$1+v=1+2u\Rightarrow v=2u.$$
   也就是說，平移後的位移必須滿足「往右 $u$，就往上 $2u$」。
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   四、利用平移後通過點 $B$

   原圖形平移 $(u,v)$ 後，若新圖通過點 $B\left(\frac12,0\right)$，就表示原圖上有一點被搬到 $B$。也就是
   $$f\left(\frac12-u\right)+v=0.$$
   代入 $f(x)=-4x^2+1$ 與 $v=2u$，得
   $$-4\left(\frac12-u\right)^2+1+2u=0.$$
   展開：
   $$-4\left(\frac14-u+u^2\right)+1+2u=0$$
   $$-1+4u-4u^2+1+2u=0$$
   $$6u-4u^2=0$$
   $$2u(3-2u)=0.$$
   因為 $P、Q$ 為兩相異點，所以 $u\neq 0$，故
   $$u=\frac32.$$
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   五、算出 $PQ$ 長度並收尾

   由 $v=2u$，得
   $$v=3.$$
   所以
   $$Q=\left(\frac32,4\right).$$
   原頂點 $P=(0,1)$，因此
   $$PQ=\sqrt{\left(\frac32-0\right)^2+(4-1)^2} =\sqrt{\frac94+9} =\sqrt{\frac{45}{4}} =\frac{3\sqrt5}{2}.$$
   故答案為
   $$\boxed{\frac{3\sqrt5}{2}}.$$

關鍵觀念：#二次函數 #頂點式 #平面平移