115學測數學A 第17題 詳解

三角比・向量比 · 選填 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   設角並串出三角形角度

   設 $\angle ACD=x$，則由題意可得 $\angle BCD=2x$，所以 $\angle ACB=3x$。又因為 $\angle CAB=90^\circ$，在 $\triangle ACD$ 中有 $\angle DAC=90^\circ$，因此 $\angle ADC=90^\circ-x$，進而得到 $\angle BDC=90^\circ+x$。
2. 2

   在 $\triangle BCD$ 用正弦定理

   對 $\triangle BCD$ 套用正弦定理：$\dfrac{BC}{\sin\angle BDC}=\dfrac{BD}{\sin\angle BCD}$。代入 $\angle BDC=90^\circ+x$、$\angle BCD=2x$，得 $\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{\sin(90^\circ+x)}{\sin 2x}=\dfrac{\cos x}{2\sin x\cos x}=\dfrac{1}{2\sin x}$。又題目給 $BC=2\cdot BD$，所以 $\dfrac{BC}{BD}=2$，因此 $2=\dfrac{1}{2\sin x}$，得到 $\sin x=\dfrac14$。
3. 3

   求 $\tan x$ 與 $\tan 3x$

   由 $\sin x=\dfrac14$，可得 $\cos x=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$，所以 $\tan x=\dfrac{1}{\sqrt{15}}$。再用倍角與三倍角公式：$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x=\dfrac{11}{16}$，$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x=\dfrac{3\sqrt{15}}{16}$，因此 $\tan 3x=\dfrac{11}{3\sqrt{15}}$。
4. 4

   由長度比求 $k$

   因為 $D$ 在 $AB$ 上，且在直角三角形中有 $AD=AC\cdot \tan x$、$AB=AC\cdot \tan 3x$，所以 $k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{\tan x}{\tan 3x}$。代入上一步結果：$k=\dfrac{1}{\sqrt{15}}\div \dfrac{11}{3\sqrt{15}}=\dfrac{3}{11}$。

關鍵觀念：#正弦定理 #三角比 #向量比例