115學測數學A 第17題 詳解

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逐步解析

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   鎖定考點

   本題考直角三角形中的角度追蹤、正弦定理與三倍角公式。設 $\angle ACD=\theta$，則 $\angle BCD=2\theta$、$\angle ACB=3\theta$；目標是 $k=\dfrac{AD}{AB}$。
2. 2

   正弦定理

   在 $\triangle ACD$ 中 $\angle ADC=90^\circ-\theta$，其外角 $\angle BDC=90^\circ+\theta$。在 $\triangle BCD$ 中用正弦定理：$\dfrac{BC}{\sin\angle BDC}=\dfrac{BD}{\sin\angle BCD}\Rightarrow\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{\sin(90^\circ+\theta)}{\sin2\theta}=\dfrac{\cos\theta}{\sin2\theta}$。
3. 3

   解出sinθ

   由 $BC=2\,BD$：$\dfrac{\cos\theta}{\sin2\theta}=2\Rightarrow\cos\theta=2\sin2\theta=4\sin\theta\cos\theta$。因 $\theta$ 為銳角、$\cos\theta\ne0$，兩邊約去 $\cos\theta$ 得 $\sin\theta=\dfrac{1}{4}$，故 $\cos\theta=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$。
4. 4

   三倍角

   設 $AC=1$，則 $AD=\tan\theta$、$AB=\tan3\theta$，故 $k=\dfrac{\tan\theta}{\tan3\theta}=\dfrac{\sin\theta\cos3\theta}{\cos\theta\sin3\theta}$。三倍角公式：$\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{16}=\dfrac{11}{16}$；$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta=\dfrac{\sqrt{15}}{4}\left(4\cdot\dfrac{15}{16}-3\right)=\dfrac{3\sqrt{15}}{16}$。
5. 5

   算出k

   $k=\dfrac{\sin\theta\cos3\theta}{\cos\theta\sin3\theta}=\dfrac{\frac{1}{4}\cdot\frac{3\sqrt{15}}{16}}{\frac{\sqrt{15}}{4}\cdot\frac{11}{16}}=\dfrac{3\sqrt{15}}{11\sqrt{15}}=\dfrac{3}{11}$。代回檢查：$\sin\theta=\dfrac{1}{4}$ 時 $3\theta\approx43^\circ$ 仍是銳角，$D$ 確實落在 $\overline{AB}$ 上，圖形成立。答案為 $\dfrac{3}{11}$。

關鍵觀念：#正弦定理 #三角比 #向量比例

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