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115學測數學A 第18題 詳解

面積・直接叉積 · 單選 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

題目
坐標空間中有一平行六面體 PQRS-ABCD。已知 向量AB×向量AD=(-5,5,5)、向量AD×向量AP=(-2,0,-4)、向量AP×向量AB=(6,-10,-8)、|向量AP|=6。試問平行四邊形 ABCD 的面積為何？
(1) 2√5 (2) 5√2 (3) 5√3 (4) 6√3 (5) 10√2

逐步解析

  1. 1

    抓住要求

    題目要的是平行四邊形 ABCDABCD 的面積，所以只要找出底邊向量 AB⃗\vec{AB} 和 AD⃗\vec{AD} 的叉積長度即可。
  2. 2

    套面積公式

    平行四邊形面積為 ∣AB⃗×AD⃗∣|\vec{AB}\times\vec{AD}|。題目已直接給出 AB⃗×AD⃗=(−5,5,5)\vec{AB}\times\vec{AD}=(-5,5,5)。
  3. 3

    求向量長度

    ∣AB⃗×AD⃗∣=(−5)2+52+52=25+25+25=75=53|\vec{AB}\times\vec{AD}|=\sqrt{(-5)^2+5^2+5^2}=\sqrt{25+25+25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}。
  4. 4

    選出答案

    因此平行四邊形 ABCDABCD 的面積為 535\sqrt{3}，選 (3)(3)。
答案
(3) 5√3

關鍵觀念：#向量外積 #平行四邊形面積 #資訊篩選

常見卡點
把三個叉積全部用上、繞去算體積

還是卡住嗎？

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