115學測數學A 第8題 詳解

矩陣遞推・辨選項 · 多選 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先抓核心：$A^n$ 每一格都會遞推

   令 $A^n=\begin{bmatrix}a_n&b_n\\ c_n&d_n\end{bmatrix}$。因為 $A^{n+1}=A^nA$，所以
   $$\begin{bmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\\ c_{n+1}&d_{n+1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_n&b_n\\ c_n&d_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&1\\ 1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2a_n+b_n&a_n\\ 2c_n+d_n&c_n\end{bmatrix}.$$
   因此得到基本關係：
   $$a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad b_{n+1}=a_n,\quad c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n.$$
   這組式子就是後面逐項判斷的關鍵。
2. 2

   逐項檢查：先看 (1) 和 (2)

   先算 $A^2$：
   $$A^2= \begin{bmatrix}2&1\\ 1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&1\\ 1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5&2\\ 2&1\end{bmatrix}.$$
   所以 $b_2=2$、$c_2=2$，因此 (1) 的 $b_2<c_2$ 是錯的。
   
   再看 (2)：
   $$2A+I= 2\begin{bmatrix}2&1\\ 1&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5&2\\ 2&1\end{bmatrix} =A^2.$$
   所以 (2) 正確。
3. 3

   判斷 (3)：看 $c_n$ 的遞迴會不會是二階

   由上一步得到
   $$c_{n+1}=2c_n+d_n,\quad d_{n+1}=c_n.$$
   把 $n$ 換成 $n+1$，得
   $$c_{n+2}=2c_{n+1}+d_{n+1}=2c_{n+1}+c_n.$$
   所以真正的遞迴是
   $$c_{n+2}=2c_{n+1}+c_n,$$
   不是題目寫的 $c_{n+2}=c_{n+1}+2c_n$，因此 (3) 錯。
   
   這也可以理解成：右乘 $A$ 時，第一欄和第二欄會互相牽動，但係數是由矩陣本身決定，不是任意交換。
4. 4

   判斷 (4)：右乘向量時，欄向量才是關鍵

   令
   $$\begin{bmatrix}a_n&b_n\\ c_n&d_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_n\\ d_n\end{bmatrix}.$$
   而題目說它等於 $\begin{bmatrix}b_{n+1}\\ d_{n+1}\end{bmatrix}$，這表示要有 $b_{n+1}=b_n$、$d_{n+1}=d_n$，顯然不對。
   
   實際上由前面遞推可知
   $$\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} \xrightarrow{A^n} \begin{bmatrix}b_n\\ d_n\end{bmatrix},$$
   不是下一次的值。若要連到 $n+1$，應該再乘一次 $A$ 才會變成
   $$\begin{bmatrix}a_n&b_n\\ c_n&d_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}b_n\\ d_n\end{bmatrix}, \quad A\begin{bmatrix}b_n\\ d_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2b_n+d_n\\ b_n\end{bmatrix}.$$
   所以 (4) 錯。
5. 5

   判斷 (5)：用奇偶次方的結構

   先觀察 $A$ 的特徵：由 (2) 可知
   $$A^2=2A+I.$$
   因此所有高次方都能化成 $A$ 和 $I$ 的線性組合。設
   $$A^n=\begin{bmatrix}a_n&b_n\\ c_n&d_n\end{bmatrix}.$$
   因為 $A$ 的第二欄是 $\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$，所以在乘法上可直接得出：
   $$A^{2n}=(A^n)^2.$$
   若把 $A^n$ 記成
   $$A^n=\begin{bmatrix}a_n&b_n\\ c_n&d_n\end{bmatrix},$$
   則其行列式滿足
   $$\det(A^n)=(\det A)^n=(-1)^n.$$
   另一方面，對 $A^n$ 而言，因為 $A^2=2A+I$ 使得 $A$ 的冪次都受同一個二階關係控制，可寫出偶次方的主對角差與平方差相容；直接由
   $$A^{2n}=(A^n)^2$$
   計算對角線差：
   $$(A^n)^2= \begin{bmatrix}a_n^2+b_nc_n & a_nb_n+b_nd_n\\ c_na_n+d_nc_n & c_nb_n+d_n^2\end{bmatrix},$$
   所以
   $$d_{2n}-a_{2n} =(c_nb_n+d_n^2)-(a_n^2+b_nc_n) =d_n^2-a_n^2.$$
   因此 (5) 正確。
6. 6

   結論：選 (2)(5)

   逐項判斷結果為：
   
   - (1) 錯，因為 $b_2=c_2=2$。
   - (2) 對，因為 $A^2=2A+I$。
   - (3) 錯，正確遞迴是 $c_{n+2}=2c_{n+1}+c_n$。
   - (4) 錯，右乘 $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ 只會取出第二欄，不是下一次的欄向量。
   - (5) 對，因為 $A^{2n}=(A^n)^2$ 可推出 $d_{2n}-a_{2n}=d_n^2-a_n^2$。
   
   所以正確答案是 **(2)(5)**。

關鍵觀念：#矩陣乘法 #遞迴關係 #選擇題判斷