115學測數學A 第8題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先乘出低次方

   這題考矩陣乘法與次方的規律。最有效率的起手式：把 $A^2$、$A^3$ 具體乘出來當「檢驗器」。$A^2=\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&2\\2&1\end{bmatrix}$，$A^3=A^2A=\begin{bmatrix}5&2\\2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}12&5\\5&2\end{bmatrix}$。另外 $A$ 是對稱矩陣，所以每個 $A^n$ 都對稱，$b_n=c_n$。
2. 2

   判 (1)(2)

   (1)：$A^2=\begin{bmatrix}5&2\\2&1\end{bmatrix}$ 給 $b_2=2$、$c_2=2$，兩者相等，$b_2<c_2$ 不成立，(1) 錯誤。(2)：$2A+\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&2\\2&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5&2\\2&1\end{bmatrix}=A^2$，(2) 正確。
3. 3

   判 (3)

   (3)：把 (2) 的 $A^2=2A+I$ 兩邊同乘 $A^{n}$ 得 $A^{n+2}=2A^{n+1}+A^{n}$，左下角元素滿足 $c_{n+2}=2c_{n+1}+c_n$——係數是「$2$ 倍前一項加前前項」，與選項寫的 $c_{n+2}=c_{n+1}+2c_n$ 剛好相反。用數字檢驗：$c_2=2$、$c_3=5$，若照選項的式子 $c_4=5+2\times 2=9$，但 $A^4=A^3A=\begin{bmatrix}29&12\\12&5\end{bmatrix}$ 給 $c_4=12=2\times 5+2$。(3) 錯誤。
4. 4

   判 (4)

   (4)：$\begin{bmatrix}a_n&b_n\\c_n&d_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_n\\d_n\end{bmatrix}$，取出的是 $A^n$ 自己的第二行，不會憑空升級成 $n+1$；要得到 $(b_{n+1},d_{n+1})^T$ 得再左乘一次 $A$。用 $n=2$ 檢驗：左邊為 $(2,1)^T$，但 $(b_3,d_3)^T=(5,2)^T$，兩者不同，(4) 錯誤。
5. 5

   判 (5)

   (5)：$A^{2n}=(A^n)^2$。設 $A^n=\begin{bmatrix}a_n&b_n\\b_n&d_n\end{bmatrix}$（對稱，$c_n=b_n$），平方得 $a_{2n}=a_n^2+b_n^2$、$d_{2n}=b_n^2+d_n^2$，相減 $d_{2n}-a_{2n}=d_n^2-a_n^2$，(5) 正確。用 $n=1$ 檢驗：$d_2-a_2=1-5=-4$，而 $d_1^2-a_1^2=0-4=-4$，吻合。
6. 6

   答案 (2)(5)

   正確的是 (2)(5)，答案選 (2)(5)。這題五個選項都能用 $A^2$、$A^3$、$A^4$ 的具體數字快速檢驗，先乘出低次方比硬推一般式省時得多。

關鍵觀念：#矩陣乘法 #遞迴關係 #選擇題判斷

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