115學測數學A 第6題 詳解

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逐步解析

1. 1

   等腰分三類

   這題考坐標平面上的等腰三角形點數：分 $\overline{CA}=\overline{CB}$、$\overline{AC}=\overline{AB}$、$\overline{BC}=\overline{AB}$ 三種情況逐一數，最後務必檢查找到的點是否落在直線 $AB$ 上（三點共線就不成三角形）。先算 $\overline{AB}=\sqrt{(2+1)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{9+16}=5$。
2. 2

   腰為 CA CB

   $\overline{CA}=\overline{CB}$：$C$ 在 $\overline{AB}$ 的中垂線上。$AB$ 中點為 $\left(\dfrac{1}{2},\,0\right)$，$AB$ 斜率為 $\dfrac{2-(-2)}{-1-2}=-\dfrac{4}{3}$，中垂線斜率 $\dfrac{3}{4}$，方程式 $y=\dfrac{3}{4}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$。代 $y=-6$ 得 $x-\dfrac{1}{2}=-8$，$x=-\dfrac{15}{2}$。交點 $\left(-\dfrac{15}{2},-6\right)$ 不在直線 $AB$ 上，是合法的 $1$ 個點。
3. 3

   腰為 AC AB

   $\overline{AC}=\overline{AB}=5$：$C$ 在以 $A(2,-2)$ 為圓心、半徑 $5$ 的圓上。$A$ 到直線 $y=-6$ 的距離為 $|-6-(-2)|=4<5$，圓與直線交於兩點：$(x-2)^2+(-6+2)^2=25$ 得 $(x-2)^2=9$，$x=5$ 或 $x=-1$。但直線 $AB$ 的方程式為 $y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{2}{3}$，代 $x=5$ 得 $y=-6$——點 $(5,-6)$ 恰好落在直線 $AB$ 上，$A$、$B$、$C$ 共線（$\overline{BC}=10=5+5$），不成三角形，必須捨去。只剩 $(-1,-6)$ 這 $1$ 個點（此時三邊為 $5,5,8$，可圍成三角形）。
4. 4

   腰為 BC AB

   $\overline{BC}=\overline{AB}=5$：$C$ 在以 $B(-1,2)$ 為圓心、半徑 $5$ 的圓上。但 $B$ 到直線 $y=-6$ 的距離為 $|-6-2|=8>5$，圓碰不到這條直線，此情況 $0$ 個點。
5. 5

   答案選 (2)

   合計 $1+1+0=2$ 個點，答案選 (2)。誤選 (3) $3$ 個的人是三種情況都數對了交點，卻沒發現 $(5,-6)$ 與 $A$、$B$ 共線——兩腰 $5+5$ 恰好等於第三邊 $10$，退化成一直線，不是三角形。

關鍵觀念：#距離公式 #等腰三角形 #共線判斷

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