115學測數學A 第6題 詳解

等腰三角・分類討論 · 單選 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   先算邊長

   由距離公式得 $AB=\sqrt{(2-(-1))^2+(-2-2)^2}=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$。接著令 $C=(x,-6)$，把等腰三角形分成三種情況討論。
2. 2

   情況一：$AB=AC$

   由 $AB=AC$，得 $(x-2)^2+16=25$，所以 $(x-2)^2=9$，故 $x=5$ 或 $x=-1$。其中 $C=(5,-6)$ 與 $A(2,-2)、B(-1,2)$ 共線，因為直線 $AB$ 為 $y=-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}$，代入 $x=5$ 得 $y=-6$，所以這點會形成退化三角形，必須剔除；只留下 $C=(-1,-6)$。
3. 3

   情況二：$AB=BC$

   由 $AB=BC$，得 $(x+1)^2+64=25$，所以 $(x+1)^2=-39$，無解。因此這一種情況沒有符合的點。
4. 4

   情況三：$AC=BC$

   由 $AC=BC$，得 $(x-2)^2+16=(x+1)^2+64$。化簡後得 $x=-\frac{15}{2}$，因此可得到一個點 $C\left(-\frac{15}{2},-6\right)$。
5. 5

   合計答案

   符合條件的點共有 $1+0+1=2$ 個，所以答案選 $(2)$。

關鍵觀念：#距離公式 #等腰三角形 #共線判斷