115學測數學A 第5題 詳解

答案(5) 無窮多個看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   特解加齊次

   這題考矩陣（線性變換）的核心結構：$A\mathbf{v}=\mathbf{b}$ 的解 $=$ 一個特解 $+$ 所有滿足 $A\mathbf{w}=\mathbf{0}$ 的齊次解。題目給的三筆資訊正好讓我們用「線性組合」拼出特解，第三筆 $A(1,0,-1)^T=(0,0,0)^T$ 就是現成的齊次解。
2. 2

   拼出特解

   把前兩式相加：$A\left[(1,1,0)^T+(0,-1,1)^T\right]=(0,-1,1)^T+(1,1,0)^T=(1,0,1)^T$。而 $(1,1,0)^T+(0,-1,1)^T=(1,0,1)^T$，所以 $A(1,0,1)^T=(1,0,1)^T$，得到一個特解 $\mathbf{v}_0=(1,0,1)^T$。
3. 3

   寫出通解

   由 $A(1,0,-1)^T=(0,0,0)^T$，對任意實數 $t$ 都有 $A\left[\mathbf{v}_0+t(1,0,-1)^T\right]=(1,0,1)^T+t\cdot\mathbf{0}=(1,0,1)^T$。所以 $\mathbf{v}=(1+t,\;0,\;1-t)^T$ 對每個 $t$ 都是 $A\mathbf{v}=(1,0,1)^T$ 的解，解已經有無窮多個。
4. 4

   驗垂直條件

   $\mathbf{v}$ 垂直於 $(0,1,0)^T$ 的意思是內積為零，即第二分量 $v_2=0$。而通解 $(1+t,\,0,\,1-t)^T$ 的第二分量恆為 $0$，垂直條件對每一個 $t$ 都自動成立，一個都沒被刪掉。
5. 5

   答案選 (5)

   滿足兩個條件的 $\mathbf{v}$ 有無窮多個，答案選 (5)。誤選 (1) $1$ 個的人是找到特解 $(1,0,1)^T$ 就停手——忽略了 $A(1,0,-1)^T=\mathbf{0}$ 代表把特解加上任意倍的 $(1,0,-1)^T$ 仍然是解，這正是題目特地給第三個條件的用意。

關鍵觀念：#矩陣乘法 #零空間 #向量垂直

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