115學測數學A 第5題 詳解

線性方程・零空間 · 單選 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先看垂直條件

   題目要 $v$ 垂直於 $(0,1,0)^T$，也就是內積為 $0$。因此 $v_2=0$，我們只要找第二分量為 $0$ 的解。
2. 2

   把已知向量記清楚

   記 $u_1=(1,1,0)^T$、$u_2=(0,-1,1)^T$、$u_3=(1,0,-1)^T$。題目給的是 $Au_1=u_2$、$Au_2=u_1$、$Au_3=0$，前兩個向量正好互換。
3. 3

   找出一個特解

   由線性性，$A(u_1+u_2)=Au_1+Au_2=u_2+u_1=(1,0,1)^T$。所以 $v_0=u_1+u_2=(1,0,1)^T$ 是方程 $Av=(1,0,1)^T$ 的一個特解。
4. 4

   寫出全部解

   又因為 $Au_3=0$，所以 $u_3$ 屬於零空間。故所有解為 $v=v_0+t u_3=(1+t,0,1-t)^T$，其中 $t\in\mathbb{R}$。
5. 5

   檢查垂直條件並判斷答案

   由 $v=(1+t,0,1-t)^T$ 可見第二分量永遠是 $0$，全部都滿足垂直條件。故符合條件的 $v$ 有無窮多個，選 $(5)$。

關鍵觀念：#矩陣乘法 #零空間 #向量垂直