115學測數學A 第4題 詳解

組合計數・分類加總 · 單選 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   一、先看全體組合數

   任選 $3$ 種不同材料，總共有 $\binom{16}{3}=560$ 種選法。接著依規則，把這些選法分成草藥、食物、藥水三類來計數。
2. 2

   二、全基本材料只算一種草藥

   若 $3$ 種材料都來自 $6$ 種基本材料，組合數是 $\binom{6}{3}=20$。但題目說這些組合都合成同一種草藥，所以草藥只有 $1$ 種道具。
3. 3

   三、二基本一進階對應十種食物

   若有 $2$ 種基本材料和 $1$ 種進階材料，組合數是 $\binom{6}{2}\times\binom{10}{1}=15\times10=150$。題目說結果只看進階材料，不受基本材料影響，所以食物共有 $10$ 種。
4. 4

   四、其餘都算藥水

   除了上面兩類，剩下的組合都會得到不同種藥水，所以藥水數量是 $\binom{16}{3}-20-150=560-170=390$。因為題目說這些都會合成出不同種的藥水，所以藥水共有 $390$ 種。
5. 5

   五、三類相加得總數

   總道具數為 $1+10+390=401$，所以答案選 $(3)$。
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   六、選項快速判斷

   $(1)$ $256$：少算藥水。$(2)$ $370$：把食物或藥水數量算少了。$(4)$ $455$、$(5)$ $560$：把組合數誤當道具數，沒有照題意把同結果的組合合併。

關鍵觀念：#組合 #分類計數 #加法原理 #乘法原理