115學測數學A 第4題 詳解

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逐步解析

1. 1

   分類計數

   這題考組合計數，但問的是「道具種數」而不是「材料組合數」：合成結果相同的組合只能算一種道具。所以先照材料結構分成三類——全基本、兩基本一進階、其他——每一類分別數出「不同結果」的個數。
2. 2

   草藥一種

   三種都是基本材料：選法有 $C^{6}_{3}=20$ 種組合，但題目說結果「必為同一種草藥」，所以不管怎麼選都只得到 $1$ 種道具。
3. 3

   食物十種

   兩基本一進階：結果只由那一種進階材料決定，基本材料換了也不變。進階材料有 $10$ 種，所以食物共 $10$ 種。
4. 4

   藥水三九〇

   其他組合（一基本兩進階、三進階）每一組材料都合成出不同種的藥水，所以直接數組合數：$C^{6}_{1}C^{10}_{2}+C^{10}_{3}=6\times 45+120=270+120=390$ 種。
5. 5

   答案選 (3)

   總計 $1+10+390=401$ 種道具，答案選 (3)。代回檢查：三類的材料組合數 $C^{6}_{3}+C^{6}_{2}C^{10}_{1}+390=20+150+390=560=C^{16}_{3}$，與從十六種材料任取三種的總數吻合，分類沒有遺漏也沒有重複。誤選 (5) $560$ 的人就是把 $C^{16}_{3}$ 這個「組合數」直接當成「道具數」，忘了草藥與食物有大量組合共用同一個結果。

關鍵觀念：#組合 #分類計數 #加法原理 #乘法原理

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