115學測數學A 第1題 詳解

期望值・加權平均 · 單選 · 題目出處：115 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   先看這題在考什麼

   這題是標準的「期望值」題。先把每種可能結果的獎金列出來，再用「機率 × 獎金」加總，就是平均可拿到多少錢。
2. 2

   列出三種結果

   每次抽籤出現「吉」、「祥」的機率都各是 $\frac{1}{3}$，所以兩次都抽得：
   
   - 都是「吉」：機率 $\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，獎金 $180$ 元
   - 都是「祥」：機率 $\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，獎金 $90$ 元
   - 其餘情況：獎金 $0$ 元
   
   因為題目只問獎金期望值，所以只要把這三種情況算進去。
3. 3

   套用期望值公式

   設隨機變數 $X$ 表示可獲得的獎金，則
   $$E(X)=180\cdot\frac{1}{9}+90\cdot\frac{1}{9}+0\cdot\frac{7}{9}。$$
   整理得
   $$E(X)=\frac{180+90}{9}=\frac{270}{9}=30。$$
4. 4

   對照選項

   因此參加者可獲獎金的期望值為 $30$ 元，對應選項 $(2)$。

關鍵觀念：#期望值 #機率乘法原理 #隨機變數