113學年新莊國中第2次段考數學 第17題 詳解

答案$\dfrac{81}{16}$（或 $5\dfrac{1}{16}$）看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先處理帶分數與符號

   $-2\dfrac{1}{4}=-\dfrac{2\times4+1}{4}=-\dfrac{9}{4}$，原式 $=\left(-\dfrac{9}{4}\right)^7\times\left(-\dfrac{4}{9}\right)^5$。負數的奇數次方是負數，$7$ 和 $5$ 都是奇數，所以 $\left(-\dfrac{9}{4}\right)^7=-\left(\dfrac{9}{4}\right)^7$、$\left(-\dfrac{4}{9}\right)^5=-\left(\dfrac{4}{9}\right)^5$。
2. 2

   負負得正

   兩個負數相乘的結果是正數，所以原式 $=\left(\dfrac{9}{4}\right)^7\times\left(\dfrac{4}{9}\right)^5$，接下來只要處理正數的部分。
3. 3

   把兩個底數湊成一樣

   $\dfrac{4}{9}$ 正好是 $\dfrac{9}{4}$ 的倒數，而 $\left(\dfrac{4}{9}\right)^5=\dfrac{4^5}{9^5}$，$\left(\dfrac{9}{4}\right)^5=\dfrac{9^5}{4^5}$，兩者互為倒數。所以「乘 $\left(\dfrac{4}{9}\right)^5$」等於「除以 $\left(\dfrac{9}{4}\right)^5$」。
4. 4

   同底數相除指數相減

   $\left(\dfrac{9}{4}\right)^7\div\left(\dfrac{9}{4}\right)^5=\left(\dfrac{9}{4}\right)^{7-5}=\left(\dfrac{9}{4}\right)^2=\dfrac{9^2}{4^2}=\dfrac{81}{16}$。
5. 5

   確認是最簡分數

   $81=3^4$、$16=2^4$，兩者沒有大於 $1$ 的公因數，$(81,16)=1$，所以 $\dfrac{81}{16}$ 已經是最簡分數。答案為 $\dfrac{81}{16}$。

關鍵觀念：#指數律 #分數次方

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