114學年鷺江國中第3次段考數學 第4題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先處理次方的次方

   兩個中括號都是次方再次方，指數要相乘：$\left[\left(-\dfrac{5}{7}\right)^2\right]^4=\left(-\dfrac{5}{7}\right)^{2\times4}=\left(-\dfrac{5}{7}\right)^8$，$\left[\left(-\dfrac{7}{5}\right)^3\right]^3=\left(-\dfrac{7}{5}\right)^{3\times3}=\left(-\dfrac{7}{5}\right)^9$。
2. 2

   判斷正負號

   底數是負數時，偶次方為正、奇次方為負。$8$ 是偶數，所以 $\left(-\dfrac{5}{7}\right)^8=\left(\dfrac{5}{7}\right)^8$；$9$ 是奇數，所以 $\left(-\dfrac{7}{5}\right)^9=-\left(\dfrac{7}{5}\right)^9$。整個式子是正乘負，結果一定是負數。
3. 3

   把兩個倒數約掉

   $\dfrac{5}{7}$ 和 $\dfrac{7}{5}$ 互為倒數，可以配成 $8$ 組：$\left(\dfrac{5}{7}\right)^8\times\left(\dfrac{7}{5}\right)^8=\left(\dfrac{5}{7}\times\dfrac{7}{5}\right)^8=1^8=1$。九次方比八次方多出一個 $\dfrac{7}{5}$ 沒被約掉，所以剩下 $\dfrac{7}{5}$。
4. 4

   合起來作結

   把正負號和數值合起來：原式 $=-\dfrac{7}{5}$。故選 (B)。
5. 5

   兩條常見的錯路

   第一種是把次方的次方用成相加：寫成 $\left(-\dfrac{5}{7}\right)^{2+4}\times\left(-\dfrac{7}{5}\right)^{3+3}=\left(-\dfrac{5}{7}\right)^6\times\left(-\dfrac{7}{5}\right)^6=\left(\dfrac{5}{7}\times\dfrac{7}{5}\right)^6=1$，會落在 (D)。第二種是正負號算對了，但約分時把剩下那個寫成 $\dfrac{5}{7}$，得到 $-\dfrac{5}{7}$，落在 (A)；記住是指數大的那一邊留下來，$9>8$，所以留下的是 $\dfrac{7}{5}$。

關鍵觀念：#指數律 #分數指數運算

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