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113學年新莊國中第2次段考數學 第4題 詳解

指數律・倍數判斷 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
下列選項哪一個是 545^4 的倍數？
(A) 535^3
(B) 53×205^3\times20
(C) 53×95^3\times9
(D) 53×45^3\times4

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先弄懂倍數的條件

    「甲是乙的倍數」表示甲可以寫成乙乘上一個整數。換成標準分解式來看，就是甲裡面每個質因數的次數，都不小於乙裡面同一個質因數的次數。這題要找出 55 的次數至少是 44 的選項。
  2. 2

    把四個選項都分解

    (A) 535^3，55 的次數是 33。(B) 53×20=53×(22×5)=22×545^3\times20=5^3\times(2^2\times5)=2^2\times5^4，55 的次數是 44。(C) 53×9=32×535^3\times9=3^2\times5^3，55 的次數是 33。(D) 53×4=22×535^3\times4=2^2\times5^3，55 的次數是 33。
  3. 3

    只有一個達到四次方

    四個選項裡只有 (B) 的 55 到達 44 次方。驗算：53×20=125×20=25005^3\times20=125\times20=2500，而 54=6255^4=625，2500÷625=42500\div625=4 確實整除。
  4. 4

    最容易看漏的地方

    不少人會改選 (D)，因為只比較「後面乘的數」，沒有把 2020 拆成 22×52^2\times5，漏看了躲在 2020 裡的那個 55。實際上 53×4=5005^3\times4=500，而 500÷625500\div625 除不盡，500500 比 625625 還小，根本不可能是 545^4 的倍數。
  5. 5

    下結論

    只有 53×205^3\times20 含有 545^4，故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#指數律 #倍數

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常見卡點
這題的關鍵是把每個選項都化成標準分解式，不要用眼睛「看起來像不像」。2020 裡面藏了一個 55，44 和 99 裡面一個 55 都沒有，差別就在這裡。另一個常見的混淆是把「甲是乙的倍數」和「甲是乙的因數」講反了——倍數比較大、因數比較小，535^3 比 545^4 小，當然不可能是 545^4 的倍數。

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