113學年新莊國中第2次段考數學 第3題 詳解

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逐步解析

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   看懂短除法在做什麼

   三個數一起做短除法時，左邊的除數如果能「同時整除三個數」，這個除數才是三數的公因數，可以算進最大公因數；只能整除其中兩個數的除數，不能算進最大公因數。
2. 2

   挑出三數共同的除數

   第一列用 $3$ 除，$54$、$60$、$90$ 都被整除，得 $18$、$20$、$30$；第二列用 $2$ 除，$18$、$20$、$30$ 也都被整除，得 $9$、$10$、$15$；第三列用 $5$ 除時，$10$ 與 $15$ 可以整除，但 $9$ 不能，所以 $9$ 被原封不動抄下來。可見只有 $3$ 和 $2$ 是三個數共同的除數。
3. 3

   寫出最大公因數

   把三數共同的除數乘起來：$(54,60,90)=3\times2=2\times3=6$。檢查一下：$54\div6=9$、$60\div6=10$、$90\div6=15$ 都整除，而 $9$、$10$、$15$ 已經沒有大於 $1$ 的公因數，確定 $6$ 就是最大公因數，(B) 成立。
4. 4

   其他三個錯在哪

   (A) 把三列除數 $3$、$2$、$5$ 全乘起來得 $2\times3\times5=30$，可是 $54\div30$ 除不盡，$30$ 連 $54$ 的因數都不是。(C) 把 $30$ 當成最小公倍數，但最小公倍數不會小於三數中最大的 $90$，$30$ 太小。(D) 把 $2$、$3$ 和第三列的 $9$、$10$、$15$ 乘起來得 $2\times3\times9\times10\times15=8100$。$8100$ 的確是三個數的公倍數，但不是最小的：把三數分解成 $54=2\times3^3$、$60=2^2\times3\times5$、$90=2\times3^2\times5$，每個質因數取最高次，得 $[54,60,90]=2^2\times3^3\times5=540$，遠小於 $8100$，所以 (D) 不成立。要提醒的是，圖中的短除法還沒做完——最後一列的 $9$ 與 $3$ 還有公因數 $3$——所以這張圖也不能直接把除數和最後一列的商全部乘起來當最小公倍數。
5. 5

   下結論

   四個敘述中只有「最大公因數等於 $2\times3$」成立，故選 (B)。

關鍵觀念：#短除法 #最大公因數 #最小公倍數