113學年新莊國中第2次段考數學 第1題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先數一到二十的質數

   先看 (A)。$1$ 到 $20$ 的整數中，質數有 $2$、$3$、$5$、$7$、$11$、$13$、$17$、$19$，剛好 $8$ 個。注意 $1$ 只有一個因數，不是質數，所以不算在內。(A) 成立。
2. 2

   兩質數相乘變合數

   再看 (B)。$3\times43=129$，$129$ 除了 $1$ 和自己以外，還有 $3$ 和 $43$ 兩個因數，共有 $4$ 個因數，所以 $129$ 是合數不是質數。兩個質數相乘的結果一定是合數，(B) 不成立。
3. 3

   別忘了數字一

   再看 (C)。$1$ 到 $100$ 的整數扣掉所有質數以後，剩下的數裡還有 $1$。$1$ 只有 $1$ 這一個因數，既不是質數也不是合數，所以「剩下的數皆為合數」不成立，(C) 不對。
4. 4

   用因數個數數矩形

   最後看 (D)。用 $n$ 個小正方形拼成矩形，長與寬都必須是 $n$ 的因數。（把矩形轉個方向不算新形狀，例如 $1\times91$ 和 $91\times1$ 視為同一種。）$91=7\times13$，因數有 $1$、$7$、$13$、$91$ 共 $4$ 個，可以拼成 $1\times91$、$7\times13$ 兩種形狀；$45=3^2\times5$，因數有 $1$、$3$、$5$、$9$、$15$、$45$ 共 $6$ 個，可以拼成 $1\times45$、$3\times15$、$5\times9$ 三種形狀。$2$ 種比 $3$ 種少，所以 $n=91$ 反而拼得比較少，(D) 不對。
5. 5

   下結論

   四個敘述中只有第一個成立，故選 (A)。

關鍵觀念：#質數 #合數 #因數分解