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113學年鷺江國中第2次段考數學 第3題 詳解

指數律求未知數之和 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
假設 □\square、△\triangle 都是正整數，若 (25×27)□=3△×56(25\times27)^{\square}=3^{\triangle}\times5^6，則式子中的 (□+△)(\square+\triangle) 之值為何？
(A) 99
(B) 1111
(C) 1212
(D) 1515

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    把底數拆成質因數

    等號右邊是 33 與 55 的次方，所以左邊也要拆成 33 與 55 的次方。25=5225=5^2、27=3327=3^3，因此 25×27=52×3325\times27=5^2\times3^3。
  2. 2

    用指數律展開

    (25×27)□=(52×33)□(25\times27)^{\square}=(5^2\times3^3)^{\square}。先用 (ab)n=an×bn(ab)^n=a^n\times b^n 拆開成 (52)□×(33)□(5^2)^{\square}\times(3^3)^{\square}，再用 (am)n=amn(a^m)^n=a^{mn} 得到 52□×33□5^{2\square}\times3^{3\square}。
  3. 3

    比對兩邊的指數

    右邊是 3△×563^{\triangle}\times5^6。同一個質因數在兩邊的次方要相同，先看 55：2□=62\square=6，所以 □=3\square=3。
  4. 4

    求 △ 並相加

    再看 33 的次方：△=3□=3×3=9\triangle=3\square=3\times3=9。代回檢查：(52×33)3=56×39(5^2\times3^3)^3=5^{6}\times3^{9}，確實等於 39×563^9\times5^6。所以 □+△=3+9=12\square+\triangle=3+9=12，故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#指數律 #標準分解式

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常見卡點
最容易錯的是把「次方的次方」算成指數相加：算 (33)□(3^3)^{\square} 時寫成 33+□3^{3+\square}，於是 □=3\square=3 時得 △=3+3=6\triangle=3+3=6，加起來變成 3+6=93+6=9，正好掉進 (A)。次方的次方是指數「相乘」，(33)3=39(3^3)^3=3^{9} 才對。另一個要注意的是別急著把 25×2725\times27 乘開成 675675，那樣反而拆不出 33 與 55 的次方。

還是卡住嗎？

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