114學測數學A 第4題 詳解

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逐步解析

1. 1

   圍出區域

   本題考對數函數圖形與格子點計數。三條邊界：曲線 $y=\log_2 x$、$x$ 軸（$y=0$）、鉛直線 $x=\dfrac{61}{2}=30.5$，圍出的有界區域介於 $x=1$（曲線與 $x$ 軸的交點）到 $x=30.5$ 之間。「內部不含邊界」翻成不等式就是 $0<y<\log_2 x$ 且 $x<30.5$，三邊上的點都不能算。
2. 2

   逐列計數

   依 $y$ 一列一列數。$y<\log_2 x$ 等價於 $x>2^y$，配上 $x<30.5$，整數 $x$ 最大取到 $30$。$y=1$ 列：$x>2$，$x=3,4,\dots,30$ 共 $28$ 個。
3. 3

   其餘各列

   $y=2$ 列：$x>4$，$x=5,\dots,30$ 共 $26$ 個；$y=3$ 列：$x>8$，$x=9,\dots,30$ 共 $22$ 個；$y=4$ 列：$x>16$，$x=17,\dots,30$ 共 $14$ 個；$y=5$ 需 $x>32$，已超過 $30.5$，一個都沒有。
4. 4

   加總作答

   合計 $28+26+22+14=90$。答案選 (3)。最誘答的是 (4) $91$：把落在曲線上的點 $(2,1)$ 也數進去了——因為 $\log_2 2=1$，這個點在邊界曲線上；只要哪一列把條件 $x>2^y$ 放鬆成 $x\ge 2^y$，就會多出這種邊界點。

關鍵觀念：#對數函數 #整數點計數 #不等式範圍

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