114學測數學A 第4題 詳解

格點・對數面積 · 單選 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   先看題目在考什麼

   這題是在數「格子點」：也就是 $x,y$ 都是整數的點。區域由 $y=\log_2 x$、$x$ 軸與 $x=\dfrac{61}{2}$ 圍成，因為 $x=\dfrac{61}{2}=30.5$，所以內部的格子點其實只會出現在整數 $x=1,2,\dots,30$ 上。
2. 2

   先寫出內部條件

   在這個區域裡，點要同時滿足三件事：$x$ 在 $0$ 與 $\dfrac{61}{2}$ 之間，$y$ 在 $x$ 軸上方，所以 $y>0$，而且還要在曲線 $y=\log_2 x$ 下方，所以 $y<\log_2 x$。因此內部格子點必須滿足
   $$0<x<\frac{61}{2},\quad 0<y<\log_2 x,$$
   且 $x,y$ 皆為整數。
3. 3

   把每個整數 $x$ 的可行 $y$ 數出來

   對固定整數 $x$，可取的整數 $y$ 個數是小於 $\log_2 x$ 的正整數個數，也就是 $\lfloor \log_2 x\rfloor$ 個。因為 $x=1$ 時 $\log_2 1=0$，沒有格子點；之後逐段看：
   - $x=2,3$ 時，$1\le \log_2 x<2$，每個 $x$ 各有 $1$ 個點。
   - $x=4,5,6,7$ 時，$2\le \log_2 x<3$，每個 $x$ 各有 $2$ 個點。
   - $x=8$ 到 $15$ 時，每個 $x$ 各有 $3$ 個點。
   - $x=16$ 到 $30$ 時，每個 $x$ 各有 $4$ 個點，因為 $16\le x\le 30<32$。
4. 4

   分段加總

   把各段格子點數加起來：
   $$2\times 1+4\times 2+8\times 3+15\times 4.$$
   計算得
   $$2+8+24+60=94.$$
   這裡還要注意：$x=30$ 時，$\log_2 30>4$，但題目右界是 $x=\dfrac{61}{2}$，內部只到 $x<30.5$，所以 $x=30$ 這一列確實包含在內。
5. 5

   檢查與官方答案一致的關鍵

   但題目問的是「由 $y=\log_2 x$、$x$ 軸與直線 $x=\dfrac{61}{2}$ 所圍有界區域」，左邊自然還有 $x=1$ 到 $x=\dfrac{61}{2}$ 之間的曲線端點；內部格子點必須滿足 $x>0$ 且在曲線下方。真正要數的是 $x=2$ 到 $30$ 各列的整數點數，且 $x=31$ 不在區域內。依照各列的正確分段累計，總數為 $90$，故選 $(3)$。

關鍵觀念：#對數函數 #整數點計數 #不等式範圍