114學測數學A 第5題 詳解

答案(1) $\dfrac{1}{3}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   倍角換元

   本題考倍角公式與三角不等式。切入點：用 $\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1$、$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，把兩個不等式全化成 $\sin\theta$、$\cos\theta$ 的式子，先解條件較強的餘弦式。
2. 2

   解餘弦式

   $\cos 2\theta>\cos\theta$ 即 $2\cos^2\theta-\cos\theta-1>0$，因式分解得 $(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)>0$。因 $\cos\theta-1\le 0$（等於 $0$ 時左式為 $0$，不合），只能兩因式同負：$2\cos\theta+1<0$，即 $\cos\theta<-\dfrac{1}{2}$，得 $\dfrac{2\pi}{3}<\theta<\dfrac{4\pi}{3}$。
3. 3

   解正弦式

   $\sin 2\theta>\sin\theta$ 即 $\sin\theta\,(2\cos\theta-1)>0$。把上一步的結論帶進來：$\cos\theta<-\dfrac{1}{2}$ 保證 $2\cos\theta-1<0$，所以需要 $\sin\theta<0$，即 $\pi<\theta<2\pi$。
4. 4

   交集作答

   取交集：$\dfrac{2\pi}{3}<\theta<\dfrac{4\pi}{3}$ 與 $\pi<\theta<2\pi$ 交出 $\pi<\theta<\dfrac{4}{3}\pi$，故 $a=1$、$b=\dfrac{4}{3}$，$b-a=\dfrac{1}{3}$。驗算：取 $\theta=\dfrac{7\pi}{6}$，$\sin 2\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}>-\dfrac{1}{2}=\sin\theta$、$\cos 2\theta=\dfrac{1}{2}>-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos\theta$，成立。答案選 (1)。最誘答的是 (3) $\dfrac{2}{3}$：只解完餘弦那條（區間寬 $\dfrac{2}{3}\pi$）就急著作答，忘了還要跟正弦的條件取交集。

關鍵觀念：#三角函數圖形 #倍角公式 #聯立不等式

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