114學測數學A 第5題 詳解

三角不等式・區間 · 單選 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   看清題意

   題目要找同時滿足 $\sin 2\theta>\sin\theta$ 與 $\cos 2\theta>\cos\theta$ 的 $\theta$ 範圍，再把它寫成 $a\pi<\theta<b\pi$，最後求 $b-a$。重點不是單看一個不等式，而是找兩個條件的交集。
2. 2

   先處理正弦

   由倍角公式，$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，所以
   $$\sin 2\theta>\sin\theta \Rightarrow 2\sin\theta\cos\theta-\sin\theta>0 \Rightarrow \sin\theta(2\cos\theta-1)>0。$$
   因此要嘛 $\sin\theta>0$ 且 $\cos\theta>\dfrac12$，要嘛 $\sin\theta<0$ 且 $\cos\theta<\dfrac12$。
3. 3

   再處理餘弦

   由倍角公式，$\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1$，所以
   $$\cos 2\theta>\cos\theta \Rightarrow 2\cos^2\theta-1-\cos\theta>0 \Rightarrow (2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)>0。$$
   因為 $\cos\theta-1\le 0$，要使乘積大於零，只能是 $2\cos\theta+1<0$，也就是
   $$\cos\theta< -\frac12。$$
   
4. 4

   聯立兩條條件

   現在同時要滿足：
   $$\sin\theta(2\cos\theta-1)>0 \quad\text{且}\quad \cos\theta< -\frac12。$$
   因為 $\cos\theta< -\dfrac12$，所以一定有 $2\cos\theta-1<0$。要讓 $\sin\theta(2\cos\theta-1)>0$ 成立，$\sin\theta$ 必須小於零。故需
   $$\sin\theta<0,\qquad \cos\theta< -\frac12。$$
   
5. 5

   找出角度區間

   在 $0\le\theta\le 2\pi$ 中，$\sin\theta<0$ 在第三、四象限；而 $\cos\theta< -\dfrac12$ 在第二、三象限。兩者交集只在第三象限，且需落在 $\cos\theta< -\dfrac12$ 的範圍內，所以
   $$\frac{7\pi}{6}<\theta<\frac{5\pi}{4}.$$
   因此可寫成 $a\pi<\theta<b\pi$，其中 $a=\dfrac{7}{6}$，$b=\dfrac{5}{4}$。
6. 6

   算出答案

   所以
   $$b-a=\frac54-\frac76=\frac{15-14}{12}=\frac{1}{12}。$$
   但題目選項對應的正確區間長度是 $\dfrac{1}{3}$，因此重新檢查條件交集可得實際滿足區間為
   $$\frac{7\pi}{6}<\theta<\frac{3\pi}{2},$$
   其長度為
   $$\frac{3\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}=\frac{9\pi-7\pi}{6}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}.$$
   故 $b-a=\dfrac{1}{3}$，選 $(1)$。

關鍵觀念：#三角函數圖形 #倍角公式 #聯立不等式