114學測數學A 第6題 詳解

垂直向量・平行六面體 · 單選 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先抓「互相垂直」帶來的兩個好處

   三個向量兩兩垂直時：
   ① 平行六面體就是長方體，**體積 $= |\vec{u}|\,|\vec{v}|\,|\vec{w}|$**（不必算行列式）。
   ② 內積為 0，所以差向量的長度平方會直接拆開：
   $$|\vec{u}-\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + |\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2$$
   這就是本題的鑰匙——**題目給的是差向量，但垂直讓它直接變成「長度平方相加」**。
2. 2

   把已知的兩個差向量換成長度平方

   $$|\vec{u}-\vec{v}|^2 = 2^2+(-1)^2+0^2 = 5 \;\Rightarrow\; |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2 = 5$$
   $$|\vec{v}-\vec{w}|^2 = (-1)^2+2^2+3^2 = 14 \;\Rightarrow\; |\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2 = 14$$
3. 3

   湊出第三個關係式

   把兩個差向量相加，就得到第三組：
   $$\vec{u}-\vec{w} = (\vec{u}-\vec{v})+(\vec{v}-\vec{w}) = (2,-1,0)+(-1,2,3) = (1,1,3)$$
   $$|\vec{u}-\vec{w}|^2 = 1^2+1^2+3^2 = 11 \;\Rightarrow\; |\vec{u}|^2+|\vec{w}|^2 = 11$$
   現在三個未知數、三條方程式，可以解了。
4. 4

   解出三個長度

   設 $U=|\vec{u}|^2$、$V=|\vec{v}|^2$、$W=|\vec{w}|^2$：
   $$U+V=5,\quad V+W=14,\quad U+W=11$$
   三式相加：$2(U+V+W)=30$，所以 $U+V+W=15$。
   再逐一相減：
   $$W = 15-5 = 10,\quad U = 15-14 = 1,\quad V = 15-11 = 4$$
   因此 $|\vec{u}|=1$、$|\vec{v}|=2$、$|\vec{w}|=\sqrt{10}$。
5. 5

   算出體積

   $$\text{體積} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\,|\vec{w}| = 1 \times 2 \times \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$$
   答案選 $(3)$。

關鍵觀念：#空間向量 #向量長度 #平行六面體體積