114學測數學A 第6題 詳解

答案(3) $2\sqrt{10}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   長方體體積

   本題考空間向量。三向量兩兩垂直，張出的平行六面體其實是長方體，體積 $=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\,|\vec{w}|$。切入點：垂直代表內積為 $0$，差向量的平方長展開時交叉項會消失，可以直接讀出邊長的資訊。
2. 2

   拆平方長

   $|\vec{u}-\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2$。由 $(2,-1,0)$ 得 $|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2=4+1+0=5$；同理由 $(-1,2,3)$ 得 $|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2=1+4+9=14$。
3. 3

   湊第三式

   缺 $\vec{u}$ 與 $\vec{w}$ 的關係，用相加把中間的 $\vec{v}$ 消掉：$\vec{u}-\vec{w}=(\vec{u}-\vec{v})+(\vec{v}-\vec{w})=(2-1,\,-1+2,\,0+3)=(1,1,3)$，故 $|\vec{u}|^2+|\vec{w}|^2=1+1+9=11$。
4. 4

   解聯立

   三式相加：$2\big(|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2\big)=5+14+11=30$，故三平方和為 $15$。逐一相減：$|\vec{u}|^2=15-14=1$、$|\vec{v}|^2=15-11=4$、$|\vec{w}|^2=15-5=10$。驗算：$1+4=5$、$4+10=14$、$1+10=11$，全對。
5. 5

   開根作答

   $|\vec{u}|=1$、$|\vec{v}|=2$、$|\vec{w}|=\sqrt{10}$，體積 $=1\times2\times\sqrt{10}=2\sqrt{10}$。答案選 (3)。最誘答的是 (5) $4\sqrt{10}$：解出 $|\vec{v}|^2=4$ 後忘了開根號，直接拿 $4$ 當邊長，算成 $1\times4\times\sqrt{10}$。

關鍵觀念：#空間向量 #向量長度 #平行六面體體積

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