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114學測數學A 第3題 詳解

分組排列・區塊法 · 單選 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

題目
某校舉辦音樂會，包含鋼琴表演 5 個、小提琴表演 4 個、歌唱表演 3 個等三類表演共 12 個不同曲目。該校想將同類表演排在一起，且歌唱必須排在鋼琴之後或是小提琴之後。試問這場音樂會可能的曲目排列方式共有幾種？
(1) 5!×4!×3!5!\times 4!\times 3! (2) 2×5!×4!×3!2\times 5!\times 4!\times 3! (3) 3×5!×4!×3!3\times 5!\times 4!\times 3! (4) 4×5!×4!×3!4\times 5!\times 4!\times 3! (5) 6×5!×4!×3!6\times 5!\times 4!\times 3!

答案(4) 4×5!×4!×3!4\times 5!\times 4!\times 3!看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    同類捆綁

    本題考排列組合的「捆綁法」：同類表演要排在一起，就把三類各綁成一大塊。塊內自己排：鋼琴 5!5!、小提琴 4!4!、歌唱 3!3! 種，這部分固定會乘上 5!×4!×3!5!\times4!\times3!，五個選項的差別只在最前面的塊序係數。
  2. 2

    塊間排序

    三大塊之間的全排列有 3!=63!=6 種：鋼小歌、鋼歌小、小鋼歌、小歌鋼、歌鋼小、歌小鋼（依塊的先後順序簡記）。
  3. 3

    篩合法塊序

    「歌唱排在鋼琴之後『或』小提琴之後」：或，代表歌唱前面至少有其中一類就好，等價於「歌唱不在第一塊」。歌唱在第一塊的排法是歌鋼小、歌小鋼共 2!=22!=2 種，故合法塊序 =6−2=4=6-2=4 種；對照上一步的清單，就是前 44 種。
  4. 4

    相乘作答

    總排列數 =4×5!×4!×3!=4\times5!\times4!\times3!。答案選 (4)。最誘答的是 (2) 2×5!×4!×3!2\times5!\times4!\times3!：把「或」讀成「且」，以為歌唱得同時排在鋼琴與小提琴之後（只能墊底），塊序只剩鋼小歌、小鋼歌 22 種，硬生生少算一半。
答案
(4) 4×5!×4!×3!4\times 5!\times 4!\times 3!

關鍵觀念：#排列組合 #區塊排列 #限制條件 #乘法原理

同主題一起複習：排列組合 →

常見卡點
命門在「之後」的邏輯連接詞：「排在鋼琴之後『或』小提琴之後」只要滿足其一，等價於「歌唱不排第一塊」，用反面扣最保險（6−2=46-2=4）；逐字直譯成「兩者之後都要」就會只剩 2 種塊序而誤選 (2)。

還是卡住嗎？

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