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114學測數學A 第3題 詳解

分組排列・區塊法 · 單選 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

題目
某校舉辦音樂會，包含鋼琴表演 5 個、小提琴表演 4 個、歌唱表演 3 個等三類表演共 12 個不同曲目。該校想將同類表演排在一起，且歌唱必須排在鋼琴之後或是小提琴之後。試問這場音樂會可能的曲目排列方式共有幾種？
(1) 5!×4!×3!5!\times 4!\times 3! (2) 2×5!×4!×3!2\times 5!\times 4!\times 3! (3) 3×5!×4!×3!3\times 5!\times 4!\times 3! (4) 4×5!×4!×3!4\times 5!\times 4!\times 3! (5) 6×5!×4!×3!6\times 5!\times 4!\times 3!

逐步解析

  1. 1

    看懂題意

    這題在考「分組排列」：先把同類表演視為三個區塊，再處理區塊之間的相對順序。因為每一類內部的曲目都不同，所以內部各自可排列；而限制條件只管「歌唱」這個區塊要在「鋼琴」或「小提琴」之後。
  2. 2

    先算區塊內部

    鋼琴表演有 55 個，內部排列有 5!5! 種；小提琴表演有 44 個，內部排列有 4!4! 種；歌唱表演有 33 個，內部排列有 3!3! 種。三類彼此獨立，所以先得到 5!×4!×3!5!\times 4!\times 3!。
  3. 3

    只看三個區塊的順序

    接著只看三個區塊 PP（鋼琴）、VV（小提琴）、SS（歌唱）的排列。題目說 SS 必須排在 PP 之後或排在 VV 之後，等價於：SS 不能同時排在 PP、VV 的前面。
  4. 4

    逐一判斷符合的區塊序

    三個區塊共有 3!=63!=6 種排列。把符合條件的列出來：PSVPSV、PVSPVS、VPSVPS、VSPVSP。這四種都滿足歌唱在鋼琴之後或小提琴之後；另外兩種 SPVSPV、SVPSVP 會讓歌唱排在鋼琴和小提琴之前，故不合題意。
  5. 5

    合併計算並對應選項

    因此總排列數為 4×5!×4!×3!4\times 5!\times 4!\times 3!，對應選項 (4)(4)。
答案
(4) 4×5!×4!×3!4\times 5!\times 4!\times 3!

關鍵觀念：#排列組合 #區塊排列 #限制條件 #乘法原理

常見卡點
最容易漏掉：只算三類內部排列，忘了區塊順序也要乘上符合條件的四種。

還是卡住嗎？

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