114學測數學A 第2題 詳解

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逐步解析

1. 1

   點斜式截距

   本題考直線方程式與坐標軸圍成的三角形面積，切入點是點斜式求截距。$L_1$：$y=-\dfrac{4}{3}(x-a)$，$x$ 截距為 $a$，令 $x=0$ 得 $y$ 截距 $\dfrac{4a}{3}$。$L_2$：$y=-\dfrac{3}{2}(x-a)$，$x$ 截距同為 $a$，$y$ 截距 $\dfrac{3a}{2}$。
2. 2

   算兩面積

   直線與兩軸圍成的直角三角形，兩股就是截距長（$a>0$，截距皆正）。$L_1$ 的面積 $=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot\dfrac{4a}{3}=\dfrac{2a^2}{3}$；$L_2$ 的面積 $=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot\dfrac{3a}{2}=\dfrac{3a^2}{4}$。
3. 3

   面積差列式

   通分比大小：$\dfrac{3a^2}{4}=\dfrac{9a^2}{12}$ 大於 $\dfrac{2a^2}{3}=\dfrac{8a^2}{12}$，所以面積差 $=\dfrac{9a^2}{12}-\dfrac{8a^2}{12}=\dfrac{a^2}{12}=3$，得 $a^2=36$。
4. 4

   驗算作答

   由 $a>0$ 取 $a=6$。驗算：$y$ 截距分別為 $8$ 與 $9$，面積為 $\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot8=24$ 與 $\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot9=27$，差恰為 $3$。答案選 (2)。最誘答的是 (1) $3\sqrt{2}$：忘了三角形面積的 $\dfrac{1}{2}$，把兩股乘積直接當面積，差變成 $\dfrac{a^2}{6}=3$，解出 $a=3\sqrt{2}$。

關鍵觀念：#直線方程式 #截距 #面積公式

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