114學測數學A 第2題 詳解

斜率截距・面積 · 單選 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   看懂題意

   這題在考「直線與兩坐標軸圍成的直角三角形面積」。因為直線通過 $P(a,0)$，又已知斜率，所以先寫出兩條直線的方程式，再求它們各自與 $x$ 軸、$y$ 軸的截距，最後用三角形面積公式比較面積差。
2. 2

   求 $L_1$ 截距

   $L_1$ 斜率是 $-\dfrac{4}{3}$，又通過 $P(a,0)$，所以
   $$y=-\frac{4}{3}(x-a).$$
   令 $x=0$，得 $y=\dfrac{4a}{3}$，所以 $L_1$ 與兩軸圍成的三角形，其底為 $a$，高為 $\dfrac{4a}{3}$。
   因此面積
   $$A_1=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{4a}{3}=\frac{2a^2}{3}.$$
3. 3

   求 $L_2$ 截距

   $L_2$ 斜率是 $-\dfrac{3}{2}$，又通過 $P(a,0)$，所以
   $$y=-\frac{3}{2}(x-a).$$
   令 $x=0$，得 $y=\dfrac{3a}{2}$，所以 $L_2$ 與兩軸圍成的三角形，底仍是 $a$，高為 $\dfrac{3a}{2}$。
   因此面積
   $$A_2=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{3a}{2}=\frac{3a^2}{4}.$$
4. 4

   列面積差

   題目說兩個直角三角形的面積差為 $3$，所以
   $$A_1-A_2=3$$
   或
   $$A_2-A_1=3.$$
   先算兩者差的絕對值：
   $$\left|\frac{2a^2}{3}-\frac{3a^2}{4}\right|=3.$$
   通分得
   $$\left|\frac{8a^2-9a^2}{12}\right|=3 \Rightarrow \frac{a^2}{12}=3 \Rightarrow a^2=36.$$
5. 5

   對照選項

   因為 $a>0$，所以
   $$a=6.$$
   對照選項，答案是 $(2)\ 6$。

關鍵觀念：#直線方程式 #截距 #面積公式