114學測數學A 第1題 詳解

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逐步解析

1. 1

   獨立的定義

   本題考機率的「獨立事件」，關鍵是定義：事件 $A$、$B$ 獨立 $\iff P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$。先把球數整理成表：1 號藍 $2$ 顆、1 號綠 $4$ 顆、2 號藍 $3$ 顆、2 號綠 $k$ 顆，全部共 $9+k$ 顆。
2. 2

   列出三機率

   抽一球，設 $A=$ 抽到藍色球、$B=$ 抽到 1 號球。藍色球共 $2+3=5$ 顆，1 號球共 $2+4=6$ 顆，「藍色且 1 號」就是表中那一格的 $2$ 顆。所以 $P(A)=\dfrac{5}{9+k}$、$P(B)=\dfrac{6}{9+k}$、$P(A\cap B)=\dfrac{2}{9+k}$。
3. 3

   解出 k

   代入獨立的定義：$\dfrac{2}{9+k}=\dfrac{5}{9+k}\cdot\dfrac{6}{9+k}$。兩邊同乘 $(9+k)^2$ 得 $2(9+k)=30$，故 $9+k=15$，$k=6$。
4. 4

   驗算作答

   驗算：$k=6$ 時共 $15$ 顆，$P(A)=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}$、$P(B)=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}$，而 $\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{15}=P(A\cap B)$，確實獨立。答案選 (5)。最誘答的是 (2) $3$：把「獨立」誤會成「1 號球與 2 號球一樣多」，列 $6=3+k$ 得 $k=3$，那是憑感覺的對稱，不是獨立的定義。

關鍵觀念：#事件獨立 #條件機率 #樣本空間

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