114學測數學A 第1題 詳解

機率・獨立 · 單選 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   看懂題意

   設事件 $B$ 為「抽到藍色球」，事件 $A$ 為「抽到 $1$ 號球」。題目說這兩個事件互相獨立，所以必須滿足 $P(B\cap A)=P(B)P(A)$。這題的關鍵，不是逐一亂試 $k$，而是先把整體球數、各事件機率寫出來，再直接套獨立條件。
2. 2

   列出球數

   袋中球的總數為
   $$2+4+3+k=9+k。$$
   其中藍球總數為
   $$2+3=5,$$
   所以
   $$P(B)=\frac{5}{9+k}。$$
   標有 $1$ 號的球共有
   $$2+4=6,$$
   所以
   $$P(A)=\frac{6}{9+k}。$$
   同時，既是藍色又是 $1$ 號的球有 $2$ 顆，因此
   $$P(B\cap A)=\frac{2}{9+k}。$$
3. 3

   套用獨立條件

   因為 $A$ 與 $B$ 獨立，所以
   $$P(B\cap A)=P(B)P(A).$$
   代入上面的機率得
   $$\frac{2}{9+k}=\frac{5}{9+k}\cdot\frac{6}{9+k}.$$
   兩邊同乘 $(9+k)^2$，得
   $$2(9+k)=30.$$
4. 4

   解出 k

   由
   $$2(9+k)=30$$
   得
   $$9+k=15,$$
   所以
   $$k=6.$$
   因此正確選項是 $(5)$。

關鍵觀念：#事件獨立 #條件機率 #樣本空間