113學測數學A 第7題 詳解

答案(3)(4)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   兩關卡判準

   本題考對數函數的圖形與定義域。兩圖形「完全相同」要過兩關：一是化簡後式子要恆等於 $y=\log x$，二是定義域也要一模一樣（$\Gamma$ 的範圍是 $x>0$）。少檢查任何一關都會誤判。
2. 2

   選項一二判析

   選項 (1)：$y=\log(5x)-\dfrac{1}{2}=\log x+\log 5-\dfrac{1}{2}$，而 $\log 5\approx 0.699\neq\dfrac{1}{2}$，圖形是 $\Gamma$ 向上平移約 $0.2$，不同，錯。選項 (2)：$2y=\log(x^2)$ 中只需 $x^2>0$，即 $x\neq 0$，負的 $x$ 也允許，化簡為 $y=\log|x|$，圖形多出左半邊，錯。
3. 3

   選項三四判析

   選項 (3)：$x^3>0$ 恰等價於 $x>0$，定義域相同；此時 $3y=\log(x^3)=3\log x$，即 $y=\log x$，完全相同，對。選項 (4)：$x=10^y$ 正是 $y=\log x$ 的定義（且 $x$ 自動為正），完全相同，對。
4. 4

   選項五判析

   選項 (5)：兩邊取對數得 $3\log x=y^3$，不是 $y=\log x$。取 $\Gamma$ 上的點 $(10,1)$ 檢驗：$x^3=1000$，但 $10^{(y^3)}=10^1=10$，兩邊不相等，這個點不在該圖形上，錯。
5. 5

   結論

   只有 (3)、(4) 化簡後與 $y=\log x$ 恆等，且定義域同為 $x>0$。故答案選 (3)(4)。

關鍵觀念：#對數函數 #指數對數互化 #圖形恆等

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