113學測數學A 第7題 詳解

對數圖形・等價式 · 多選 · 題目出處：113 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先抓觀念

   題目要找的是：哪些關係式所描述的點集，和 $y=\log x$ 的圖形 $\Gamma$ 完全一樣。也就是說，式子不只是「有交集」，而是對每一個符合原圖形的點，都要成立；反過來，式子所給出的每一個點，也都要剛好落在 $y=\log x$ 上。
2. 2

   判斷（1）

   （1）$y+\dfrac{1}{2}=\log(5x)$
   
   先把右邊用對數性質拆開：
   $$\log(5x)=\log 5+\log x$$
   所以
   $$y+\dfrac{1}{2}=\log 5+\log x$$
   整理得
   $$y=\log x+\log 5-\dfrac{1}{2}$$
   這不是 $y=\log x$，而是整體上下平移了常數。因為一般不會有 $\log 5=\dfrac{1}{2}$ 這種恆等關係，所以圖形不會完全相同。故（1）錯。
3. 3

   判斷（2）

   （2）$2y=\log(x^2)$
   
   因為原圖形 $\Gamma$ 上有 $x>0$，所以在這個範圍內 $x^2>0$，且
   $$\log(x^2)=\log(x\cdot x)=\log x+\log x=2\log x$$
   因此
   $$2y=2\log x$$
   兩邊同除以 $2$，得到
   $$y=\log x$$
   看起來似乎相同，但要注意：若只看方程式本身，$x^2$ 也可能讓負數 $x$ 出現；不過因為對數的定義域要求 $x^2>0$，所以 $x
   eq 0$都可行，這會多出$x<0$的點。這些點不在原來的$\Gamma$ 上，所以圖形不完全相同。故（2）錯。
4. 4

   判斷（3）

   （3）$3y=\log(x^3)$
   
   原圖形中 $x>0$，因此
   $$\log(x^3)=\log(x\cdot x\cdot x)=3\log x$$
   所以
   $$3y=3\log x$$
   兩邊同除以 $3$，得
   $$y=\log x$$
   而且這裡的定義域也必須滿足 $x^3>0$，也就是 $x>0$，正好和原圖形一致。故（3）對。
5. 5

   判斷（4）

   （4）$x=10^y$
   
   把它改寫成對數式：
   $$y=\log x$$
   因為 $y=\log x$ 與 $x=10^y$ 互為指數與對數的等價表示，兩者描述的是同一個點集。故（4）對。
6. 6

   判斷（5）

   （5）$x^3=10^{(y^3)}$
   
   把兩邊取常用對數，可得
   $$\log(x^3)=y^3$$
   左邊是
   $$3\log x=y^3$$
   所以
   $$y=\sqrt[3]{3\log x}$$
   這顯然不是 $y=\log x$。因此（5）所描述的圖形和 $\Gamma$ 不同。故（5）錯。
7. 7

   結論

   綜合以上判斷，與 $\Gamma$ 完全相同的是
   $$\boxed{(3)(4)}$$
   這正是官方答案。

關鍵觀念：#對數函數 #指數對數互化 #圖形恆等