113學測數學A 第6題 詳解

三角・坐標 · 單選 · 題目出處：113 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   設座標

   設 $B=(0,0)$，因為 $A$ 在 $B$ 的正東方且相距 $7$ 公里，所以 $A=(7,0)$。題目說 $A$ 向西偏北 $\theta$ 方向、$B$ 向東偏北 $\theta$ 方向，都打到同一點 $P$，而且 $AP=BP=9$。這表示 $P$ 到 $A、B$ 的夾角方向具有對稱性，適合用幾何與座標一起看。
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   抓住觀念

   因為 $AP=BP$，所以點 $P$ 在線段 $AB$ 的垂直平分線上。又 $A$、$B$ 都是朝同一個銳角 $\theta$ 的方向發射到 $P$，因此 $P$ 的位置可由三角形 $\triangle ABP$ 決定。接著要求的是 $BQ$，而 $Q$ 是 $A$ 改成向西偏北 $\dfrac{\theta}{2}$ 的方向、距離 $9$ 公里的點，所以關鍵是先求出 $\theta$ 的大小。
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   求出 $\theta$

   在 $\triangle ABP$ 中，已知 $AB=7$、$AP=BP=9$。用余弦定理求 $\angle PAB=\theta$：$$\cos\theta=\frac{AP^2+AB^2-BP^2}{2\cdot AP\cdot AB} =\frac{9^2+7^2-9^2}{2\cdot 9\cdot 7} =\frac{49}{126}=\frac{7}{18}。$$因此 $\theta$ 由 $\cos\theta=\dfrac{7}{18}$ 決定。
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   處理半角

   現在要算 $BQ$，其中 $Q$ 在從 $A$ 出發、方向為西偏北 $\dfrac{\theta}{2}$、距離 $9$ 公里的位置。看三角形 $\triangle ABQ$，已知 $AB=7$、$AQ=9$，而 $\angle BAQ=\dfrac{\theta}{2}$。先用半角公式：$$\cos\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac{7}{18}}{2}} =\sqrt{\frac{25}{36}} =\frac{5}{6}。$$
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   求 $BQ$

   再對 $\triangle ABQ$ 用余弦定理：$$BQ^2=AB^2+AQ^2-2\cdot AB\cdot AQ\cdot \cos\frac{\theta}{2} =7^2+9^2-2\cdot 7\cdot 9\cdot \frac{5}{6}。$$計算得
   $$BQ^2=49+81-105=25,$$
   所以
   $$BQ=5。$$
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   結論

   因此砲台 $B$ 與彈著點 $Q$ 的距離為 $5$ 公里，答案選 $(3)$。

關鍵觀念：#三角函數 #坐標幾何 #余弦定理