113學測數學A 第6題 詳解

答案(3) 5 公里看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先畫等腰三角

   本題考餘弦定理與方位角。$A$ 在 $B$ 正東方、$\overline{AB}=7$；兩砲彈都命中 9 公里外的同一目標 $P$，表示 $\overline{PA}=\overline{PB}=9$，且「西偏北」與「東偏北」對稱，$\angle PAB=\angle PBA=\theta$，三角形 $PAB$ 為等腰三角形。
2. 2

   先求底角餘弦

   由 $P$ 向 $\overline{AB}$ 作垂線，等腰三角形的垂足恰為 $\overline{AB}$ 中點，故 $\cos\theta=\dfrac{7/2}{9}=\dfrac{7}{18}$。
3. 3

   半角公式

   $Q$ 在 $A$ 的西偏北 $\dfrac{\theta}{2}$ 方向 9 公里處，故三角形 $ABQ$ 中 $\overline{AB}=7$、$\overline{AQ}=9$、$\angle QAB=\dfrac{\theta}{2}$。半角公式：$\cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\frac{7}{18}}{2}}=\sqrt{\dfrac{25}{36}}=\dfrac{5}{6}$（$\theta$ 為銳角，$\dfrac{\theta}{2}$ 也是銳角，取正值）。
4. 4

   餘弦定理收尾

   對三角形 $ABQ$ 用餘弦定理：$\overline{BQ}^2=7^2+9^2-2\cdot 7\cdot 9\cdot\cos\dfrac{\theta}{2}=49+81-126\cdot\dfrac{5}{6}=130-105=25$，故 $\overline{BQ}=5$ 公里。
5. 5

   距離不會減半

   最誘答的是 (2)：看到發射角從 $\theta$ 減半，就直覺把 $\overline{BQ}$ 猜成 9 的一半 4.5 公里。距離與角度不是正比關係，必須把 $\cos\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{5}{6}$ 代入餘弦定理老實計算。故答案選 (3)。

關鍵觀念：#三角函數 #坐標幾何 #余弦定理

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