113學測數學A 第5題 詳解

答案(4) $(C^{24}_{12})^2$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先鎖定中位數

   本題考排列組合結合中位數的性質。每組 25 個數，中位數是該組由小到大的第 13 個數。切入點：不要急著分組，先證明兩組的中位數只能是哪兩個數，再來計數。
2. 2

   只能是25、26

   設甲組中位數為 $m$，則乙組中位數為 $m+1$。甲組中恰有 13 個數 $\le m$（前 13 小含中位數本身）；乙組的第 13 小是 $m+1$，故乙組中恰有 12 個數 $\le m$。但 1 到 50 中不超過 $m$ 的數恰有 $m$ 個，所以 $m=13+12=25$：甲組中位數為 25、乙組中位數為 26。
3. 3

   上下半各自選

   於是 25 必在甲組且恰為第 13 小、26 必在乙組且恰為第 13 小。這代表 1 到 24 這 24 個數中，甲組要恰好拿 12 個（其餘 12 個歸乙組）；27 到 50 這 24 個數中，甲組也要恰好拿 12 個。兩段選法互相獨立，共 $C^{24}_{12}\cdot C^{24}_{12}=(C^{24}_{12})^2$ 種。
4. 4

   自由分組陷阱

   最誘答的是 (2)：把 25、26 各歸一組後，以為剩下 48 個數可任意平分成兩組 24 個而寫 $C^{48}_{24}$。但那樣分完，25 未必是甲組的第 13 小、26 也未必是乙組的第 13 小——「中位數兩側各恰 12 個」這條限制必須守住。故答案選 (4)。

關鍵觀念：#中位數 #組合 #對稱性

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