113學測數學A 第5題 詳解

中位數・配對法 · 單選 · 題目出處：113 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先看題目在考什麼

   把 $1$ 到 $50$ 分成兩組，每組 $25$ 個。因為每組數量都是奇數，所以中位數就是排序後第 $13$ 個數。題目要的是：甲組中位數比乙組中位數小 $1$，也就是兩個中位數必須是相鄰整數。
2. 2

   把中位數寫成一對相鄰數

   設甲組中位數是 $m$，乙組中位數是 $m+1$。由於甲組有 $25$ 個數，甲組中比中位數小的有 $12$ 個、比中位數大的也有 $12$ 個；乙組同理。又因為甲組中位數比乙組小 $1$，所以這一對中位數只能是一對相鄰整數 $m,m+1$。
3. 3

   先決定這對中位數的位置

   要讓甲組的中位數是 $m$、乙組的中位數是 $m+1$，則在甲組中，$m$ 的左邊必須有 $12$ 個數、右邊也有 $12$ 個數；乙組中，$m+1$ 的左邊與右邊也各有 $12$ 個數。也就是說，除了這兩個中位數以外，其餘 $48$ 個數，必須分成兩組各 $24$ 個，且各自配合對應的中位數條件。
4. 4

   利用對稱性數分法

   把數字依大小排列成 $1,2,\dots,50$。一旦決定中位數是 $m$ 與 $m+1$，那麼比這一對中位數小的共有 $m-1$ 個、比它們大的共有 $50-(m+1)$ 個。要讓兩組各有 $12$ 個在中位數左邊、$12$ 個在右邊，實際上只需從較小的 $24$ 個數中選出 $12$ 個給甲組，剩下 $12$ 個給乙組；較大的 $24$ 個數也同樣選出 $12$ 個給甲組，剩下 $12$ 個給乙組。
5. 5

   計算總數並對應選項

   左邊的 $24$ 個數選 $12$ 個給甲組，有 $C^{24}_{12}$ 種；右邊的 $24$ 個數也選 $12$ 個給甲組，有 $C^{24}_{12}$ 種。兩部分獨立相乘，所以總分法數為 $\left(C^{24}_{12}\right)^2$。因此答案是選項 (4)。

關鍵觀念：#中位數 #組合 #對稱性