113學測數學A 第4題 詳解

三角方程・和差化積 · 單選 · 題目出處：113 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   觀念先抓

   這題考的是三角函數的和角公式，以及把方程整理成可分解的形式。關鍵是先把 $\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 展開，再利用 $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$，把原式化成只含 $\sin x$、$\cos x$ 的方程。
2. 2

   代入公式

   由和角公式得
   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x.$$
   又因為 $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$，所以原式變成
   $$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\sin x+\frac{1}{2}.$$
3. 3

   移項整理

   兩邊同乘以二，得到
   $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin x+1.$$
   移到同一邊：
   $$(\sqrt{3}-2)\sin x+\cos x=1.$$
   接著用 $t=\tan\dfrac{x}{2}$ 的半角代換來處理。因為在 $0\le x<2\pi$ 中，這類三角方程可轉成有理式，再統一求解。
4. 4

   半角代換

   令
   $$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad t=\tan\frac{x}{2}.$$
   代入 $(\sqrt{3}-2)\sin x+\cos x=1$，得
   $$(\sqrt{3}-2)\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}=1.$$
   兩邊同乘 $1+t^2$：
   $$2(\sqrt{3}-2)t+1-t^2=1+t^2.$$
   整理得
   $$2t^2-2(\sqrt{3}-2)t=0,$$
   也就是
   $$2t\bigl(t-(\sqrt{3}-2)\bigr)=0.$$
5. 5

   判斷解的個數

   由
   $$2t\bigl(t-(\sqrt{3}-2)\bigr)=0$$
   可得
   $$t=0\quad\text{或}\quad t=\sqrt{3}-2.$$
   第一個解 $t=0$ 對應
   $$\tan\frac{x}{2}=0\Rightarrow x=0.$$
   第二個解滿足
   $$\tan\frac{x}{2}=\sqrt{3}-2,$$
   在 $0\le x<2\pi$ 中對應唯一一個 $x$。因此共有 $2$ 個實數解。
6. 6

   選項結論

   符合題意的解的個數是 $2$，所以選 $(2)$。

關鍵觀念：#三角函數 #和差公式 #方程解的個數