113學測數學A 第4題 詳解

答案(2) 2 個看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   和差化積切入

   本題考三角恆等式解方程。$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin x+\sin\dfrac{\pi}{6}$ 這種「兩個 sin 的和差」，標準手法是移項後用和差化積，把方程化成單一三角函數的等式。
2. 2

   兩邊各自化積

   左邊移項後化積：$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)-\sin x=2\cos\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)\sin\dfrac{\pi}{12}$。右邊用倍角公式改寫：$\sin\dfrac{\pi}{6}=2\sin\dfrac{\pi}{12}\cos\dfrac{\pi}{12}$。
3. 3

   約去解方程

   因 $\sin\dfrac{\pi}{12}\neq 0$，兩邊同除 $2\sin\dfrac{\pi}{12}$ 得 $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)=\cos\dfrac{\pi}{12}$，故 $x+\dfrac{\pi}{12}=\pm\dfrac{\pi}{12}+2k\pi$，即 $x=2k\pi$ 或 $x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$（$k$ 為整數）。
4. 4

   範圍內取解

   在 $0\le x<2\pi$ 內：$x=0$ 與 $x=2\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6}$，共 2 個。驗算 $x=\dfrac{11\pi}{6}$：左邊 $\sin 2\pi=0$，右邊 $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=0$，成立；$x=0$ 時兩邊都是 $\dfrac{1}{2}$，也成立。
5. 5

   拆開就中計

   最誘答的是 (5)：誤以為 $\sin(A+B)=\sin A+\sin B$ 是恆等式，就會以為每個 $x$ 都滿足而選「5 個以上」。sin 沒有分配律，正確展開是 $\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$，等號只在特殊角度成立。故答案選 (2)。

關鍵觀念：#三角函數 #和差公式 #方程解的個數

同主題一起複習：三角函數 →