113學測數學A 第3題 詳解

三次函數・韋達 · 單選 · 題目出處：113 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先看題目在問什麼

   這題考的是三次多項式的「根與係數」關係。因為圖形與 $x$ 軸交於三點，所以 $f(x)$ 有三個相異實根；又已知這三個 $x$ 坐標成等差數列，首項是 $-7$、公差是 $a$。最後要判斷的是常數項 $f(0)$ 的正負，也就是三根乘積的正負。
2. 2

   把三個根寫出來

   設三個 $x$ 截距為 $-7,\,-7+a,\,-7+2a$。因為它們是等差數列，且題目給的 $a\in\{-6,-4,-2,2,4,6\}$，所以這三點確實可直接表示為這個形式。
3. 3

   用三次多項式的係數關係

   設 $f(x)=k(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$，其中最高次項係數 $k=a$。因此
   \[f(x)=a(x+7)\bigl(x+7-a\bigr)\bigl(x+7-2a\bigr).\]
   題目要的是 $f(0)>0$，所以只要看
   \[f(0)=a\cdot 7\cdot (7-a)\cdot (7-2a).\]
4. 4

   逐一判斷各個 $a$

   現在檢查 $a$ 的六個可能值：
   
   1. $a=-6$：
   \[f(0)=(-6)\cdot 7\cdot 13\cdot 19<0.\]
   
   2. $a=-4$：
   \[f(0)=(-4)\cdot 7\cdot 11\cdot 15<0.\]
   
   3. $a=-2$：
   \[f(0)=(-2)\cdot 7\cdot 9\cdot 11<0.\]
   
   4. $a=2$：
   \[f(0)=2\cdot 7\cdot 5\cdot 3>0.\]
   
   5. $a=4$：
   \[f(0)=4\cdot 7\cdot 3\cdot (-1)<0.\]
   
   6. $a=6$：
   \[f(0)=6\cdot 7\cdot 1\cdot (-5)<0.\]
5. 5

   整理結論

   使得 $f(0)>0$ 的只有 $a=2$ 這一個，所以共有 $1$ 個。故答案選 $(1)$。

關鍵觀念：#三次多項式 #韋達定理 #等差數列 #根與係數關係