113學測數學A 第3題 詳解

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逐步解析

1. 1

   由根反寫函數

   本題考三次函數「已知三根」的因式分解式。三個交點的 $x$ 坐標成等差：首項 $-7$、公差 $a$，故三根為 $-7$、$-7+a$、$-7+2a$（$a\neq 0$，三根相異）。最高次項係數為 $a$，可直接寫 $f(x)=a(x+7)(x+7-a)(x+7-2a)$。
2. 2

   代入求函數值

   代 $x=0$：$f(0)=a\cdot 7\cdot(7-a)\cdot(7-2a)$。注意 $0-(-7+a)=7-a$、$0-(-7+2a)=7-2a$，符號要對。
3. 3

   六個值逐一驗

   逐一代入：$a=-6$ 時 $7\cdot(-6)\cdot 13\cdot 19<0$；$a=-4$ 時 $7\cdot(-4)\cdot 11\cdot 15<0$；$a=-2$ 時 $7\cdot(-2)\cdot 9\cdot 11<0$；$a=2$ 時 $7\cdot 2\cdot 5\cdot 3=210>0$；$a=4$ 時 $7\cdot 4\cdot 3\cdot(-1)<0$；$a=6$ 時 $7\cdot 6\cdot 1\cdot(-5)<0$。只有 $a=2$ 使 $f(0)>0$。
4. 4

   領導係數陷阱

   最誘答的是 (4)：漏掉最前面的係數 $a$、只判斷 $7(7-a)(7-2a)$ 的正負，會得到 $a=-6,-4,-2,2$ 四個都成立而誤選 4 個。負的 $a$ 會讓整個乘積翻號，不能省略。故答案選 (1)。

關鍵觀念：#三次多項式 #韋達定理 #等差數列 #根與係數關係

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