113學測數學A 第2題 詳解

外積・法向量 · 單選 · 題目出處：113 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   先抓考點

   這題在考「向量外積的方向」。對兩個不平行向量 $\overrightarrow{AD}$ 和 $\overrightarrow{AG}$ 來說，$\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AG}$ 會垂直於它們張成的平面，所以只要找出一個同時垂直於這個平面的向量即可。
2. 2

   建立正方體座標

   設正方體邊長為一，取 $O=(0,0,0)$，$A=(1,0,0)$，$C=(0,1,0)$，$D=(0,0,1)$。由題意對應關係可得 $E=(1,0,1)$，$G=(0,1,1)$。
3. 3

   寫出兩個向量

   由座標可得
   $\overrightarrow{AD}=D-A=(-1,0,1)$，
   $\overrightarrow{AG}=G-A=(-1,1,1)$。
4. 4

   求外積方向

   計算
   $\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AG}
   =\begin{vmatrix}
   \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\
   -1&0&1\\
   -1&1&1
   \end{vmatrix}
   =(-1,0,-1)=-(1,0,1)$。
   因此 $\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AG}$ 與向量 $(1,0,1)$ 平行。
5. 5

   對照選項

   再看各選項：
   (1) $\overrightarrow{AE}=E-A=(0,0,1)$，不平行。
   (2) $\overrightarrow{BE}=E-B=(0,-1,1)$，不平行。
   (3) $\overrightarrow{CE}=E-C=(1,-1,1)$，不平行。
   (4) $\overrightarrow{DE}=E-D=(1,0,0)$，不平行。
   (5) $\overrightarrow{OE}=E-O=(1,0,1)$，與外積平行。
   所以正確答案是 (5) $\overrightarrow{OE}$。

關鍵觀念：#向量外積 #正方體 #平面法向量 #空間向量