113學測數學A 第2題 詳解

答案(5) $\overrightarrow{OE}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   設坐標拆向量

   本題考空間向量的外積，最穩的做法是設坐標。令正方體邊長為 1：$O=(0,0,0)$、$A=(1,0,0)$、$B=(1,1,0)$、$C=(0,1,0)$，頂面依對應關係為 $D=(0,0,1)$、$E=(1,0,1)$、$F=(1,1,1)$、$G=(0,1,1)$。
2. 2

   求兩向量

   $\overrightarrow{AD}=D-A=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{AG}=G-A=(-1,1,1)$。
3. 3

   外積計算

   外積三個分量依序為：$0\cdot 1-1\cdot 1=-1$；$1\cdot(-1)-(-1)\cdot 1=0$；$(-1)\cdot 1-0\cdot(-1)=-1$。故 $\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AG}=(-1,0,-1)$。
4. 4

   比對選項

   $(-1,0,-1)=-(1,0,1)=-\overrightarrow{OE}$，故外積與 $\overrightarrow{OE}$ 平行。其他選項逐一檢查：$\overrightarrow{AE}=(0,0,1)$、$\overrightarrow{BE}=(0,-1,1)$、$\overrightarrow{CE}=(1,-1,1)$、$\overrightarrow{DE}=(1,0,0)$，都不是 $(-1,0,-1)$ 的實數倍。
5. 5

   答案與驗證

   用內積驗證：$\overrightarrow{OE}\cdot\overrightarrow{AD}=-1+0+1=0$、$\overrightarrow{OE}\cdot\overrightarrow{AG}=-1+0+1=0$，確認 $\overrightarrow{OE}$ 同時垂直兩向量，正是外積方向。最誘答的是 (1)：把「外積垂直於兩向量」誤想成「垂直於底面、鉛直向上」，就會選到側稜方向的 $\overrightarrow{AE}$；其實外積要垂直的是 $A$、$D$、$G$ 三點張出的斜平面。故答案選 (5)。

關鍵觀念：#向量外積 #正方體 #平面法向量 #空間向量

同主題一起複習：向量 →