113學測數學A 第1題 詳解

答案(2) 服用 4 小時後，體內仍殘留有該藥物的 $\dfrac{1}{4}$ 劑量看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   指數衰退模型

   本題考指數函數的實際應用。「每經過一段固定時間就剩一半」是半衰期的特徵：殘留比例只跟經過了幾個半衰期有關。已知半衰期為 2 小時，故服藥 $t$ 小時後的殘留比例為 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/2}$。
2. 2

   檢驗四小時

   服用 4 小時後經過了 $\dfrac{4}{2}=2$ 個半衰期，殘留比例為 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}$，與選項 (2) 的敘述完全一致。
3. 3

   其餘逐一排除

   其餘選項用同一公式檢驗：3 小時剩 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\approx 0.354\neq\dfrac{1}{3}$；6 小時剩 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=\dfrac{1}{8}\neq\dfrac{1}{6}$；8 小時剩 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}=\dfrac{1}{16}\neq\dfrac{1}{8}$；10 小時剩 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}=\dfrac{1}{32}\neq\dfrac{1}{10}$。
4. 4

   指數不是反比

   最誘答的是 (3) 與 (5)：把「2 小時剩 $\dfrac{1}{2}$」誤讀成「殘留量與時間成反比」，就會以為 6 小時剩 $\dfrac{1}{6}$、10 小時剩 $\dfrac{1}{10}$。指數衰退是「每 2 小時乘一次 $\dfrac{1}{2}$」，6 小時是連乘三次得 $\dfrac{1}{8}$，不是 $\dfrac{1}{6}$。故答案選 (2)。

關鍵觀念：#指數函數 #半衰期 #指數成長與衰退

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