113學測數學A 第1題 詳解

指數衰退・半衰期 · 單選 · 題目出處：113 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   看懂題意

   題目說藥物殘留量隨時間呈指數型衰退，而且在服用 $2$ 小時後，體內還剩原來的一半。這表示這個藥物的半衰期是 $2$ 小時：每過 $2$ 小時，殘留量就變成前一次的一半。
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   建立模型

   設剛服用時的藥量為 $1$。因為 $2$ 小時後剩下一半，所以 $4$ 小時後會再乘上一次 $\dfrac{1}{2}$，得到 $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$。同理，殘留量不是依時間平均分掉，而是按固定倍數遞減。
3. 3

   逐選項判析

   (1) $3$ 小時後剩 $\dfrac{1}{3}$：錯。指數衰退不是按時間比例下降，$3$ 小時不會對應成 $\dfrac{1}{3}$。
   (2) $4$ 小時後剩 $\dfrac{1}{4}$：對。因為 $4$ 小時是兩個半衰期，殘留量為 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$。
   (3) $6$ 小時後剩 $\dfrac{1}{6}$：錯。$6$ 小時是三個半衰期，應為 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8}$。
   (4) $8$ 小時後剩 $\dfrac{1}{8}$：錯。$8$ 小時是四個半衰期，應為 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{1}{16}$。
   (5) $10$ 小時後剩 $\dfrac{1}{10}$：錯。$10$ 小時是五個半衰期，應為 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^5=\dfrac{1}{32}$。
4. 4

   結論

   因此正確選項是 $(2)$。

關鍵觀念：#指數函數 #半衰期 #指數成長與衰退