113學測數學A 第8題 詳解

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逐步解析

1. 1

   最大角通式

   本題考餘弦定理與海龍公式。$T_n$ 三邊為 $n$、$n+1$、$n+2$，最大角對最長邊 $n+2$，先用餘弦定理算通式：$\cos(\text{最大角})=\dfrac{n^2+(n+1)^2-(n+2)^2}{2n(n+1)}=\dfrac{n^2-2n-3}{2n(n+1)}=\dfrac{(n-3)(n+1)}{2n(n+1)}=\dfrac{n-3}{2n}$。
2. 2

   選項一五判析

   選項 (1)：$n=2$ 時 $\cos(\text{最大角})=\dfrac{2-3}{4}=-\dfrac{1}{4}<0$，$T_2$（邊長 2、3、4）是鈍角三角形，並非全為銳角，錯。選項 (5)：$\dfrac{n-3}{2n}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2n}$ 隨 $n$ 增大而變大，餘弦越大角越小，故 $T_3$ 的最大角（$\cos=0$，恰為直角）小於 $T_2$ 的最大角（鈍角），選項說「大於」，錯。
3. 3

   選項二判析

   選項 (2)：$T_n$ 周長為 $n+(n+1)+(n+2)=3n+3$，故 $T_2$ 到 $T_{10}$ 的周長為 $9,12,15,\cdots,33$，是公差 3 的等差數列，對。
4. 4

   選項三判析

   選項 (3)：用附註的海龍公式，$s=\dfrac{3n+3}{2}$，面積平方 $=s(s-n)(s-n-1)(s-n-2)=\dfrac{3(n+1)}{2}\cdot\dfrac{n+3}{2}\cdot\dfrac{n+1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}=\dfrac{3(n+1)^2(n+3)(n-1)}{16}$。四個因子在 $n\ge 2$ 時都是正數且都隨 $n$ 增大，面積遞增，對。
5. 5

   選項四判析

   選項 (4)：設 $T_5$（邊長 5、6、7）面積為 $K$，三高為 $\dfrac{2K}{5}$、$\dfrac{2K}{6}$、$\dfrac{2K}{7}$，與 $\dfrac{1}{5}$、$\dfrac{1}{6}$、$\dfrac{1}{7}$ 成比例。等差需「中項的兩倍等於首尾之和」：$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{35}{105}$，但 $\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{12}{35}=\dfrac{36}{105}$，兩者不等，錯。
6. 6

   結論

   正確的敘述是 (2) 與 (3)。故答案選 (2)(3)。

關鍵觀念：#三角形不等式 #海龍公式 #等差數列

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