113學測數學A 第8題 詳解

三角・性質 · 多選 · 題目出處：113 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   看題型

   這是多選題，重點不是只算一個 $n$，而是要抓住 $T_n$ 的一般規律，再逐一判斷各選項。已知三邊為 $n、n+1、n+2$，先確認它確實能成三角形：因為 $n+(n+1)>n+2$，所以對所有 $n\ge 2$ 都成立。
2. 2

   算周長

   $T_n$ 的周長為 $n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$。所以當 $n=2,3,4,\dots,10$ 時，周長依序為 $9,12,15,\dots,33$，公差都是 $3$，因此形成等差數列。
3. 3

   判斷面積

   設 $a=n,\,b=n+1,\,c=n+2$，則半周長 $s=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{3n+3}{2}$。由海龍公式，
   $$A_n=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} =\sqrt{\frac{3n+3}{2}\cdot\frac{n+3}{2}\cdot\frac{n+1}{2}\cdot\frac{n-1}{2}}.$$
   整理得
   $$A_n=\frac14\sqrt{(3n+3)(n+3)(n+1)(n-1)}.$$
   也可寫成
   $$A_n=\frac14\sqrt{3(n+1)^2(n+3)(n-1)}.$$
   因為 $n\ge 2$ 時，括號內每個因子都隨 $n$ 增大而增大，所以面積 $A_n$ 也隨 $n$ 增大而增大。
4. 4

   選項一

   (1)「$T_n$ 皆為銳角三角形」錯。看最大邊 $n+2$ 對應的角。若是銳角，需滿足
   $$(n+2)^2<(n+1)^2+n^2.$$
   但右邊減左邊為
   $$(n+1)^2+n^2-(n+2)^2= n^2-2n-3=(n-3)(n+1).$$
   當 $n\ge 4$ 時，這個值為正；但對 $n=2$，有 $16$ 與 $13$，不成立，所以 $T_2$ 不是銳角三角形。
5. 5

   選項二

   (2)「$T_2,T_3,T_4,\cdots,T_{10}$ 的周長形成等差數列」對。因為周長是 $3n+3$，當 $n$ 每增加一，周長就增加 $3$，所以確實是等差數列。
6. 6

   選項三

   (3)「$T_n$ 的面積隨 $n$ 增大而增大」對。由海龍公式可得
   $$A_n=\frac14\sqrt{3(n+1)^2(n+3)(n-1)}。$$
   在 $n\ge 2$ 的範圍內，$n+1$、$n+3$、$n-1$ 都隨 $n$ 增大而增大，因此面積單調遞增。
7. 7

   選項四

   (4)「$T_5$ 的三高依序形成等差數列」錯。$T_5$ 的三邊為 $5,6,7$，面積先算出來：
   $$s=\frac{5+6+7}{2}=9,$$
   $$A=\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}.$$
   三高分別為
   $$\frac{2A}{5},\quad \frac{2A}{6},\quad \frac{2A}{7}$$
   即
   $$\frac{12\sqrt6}{5},\quad \sqrt6,\quad \frac{12\sqrt6}{7}.$$
   若它們依序成等差，需中項等於首末兩項平均，但
   $$2\sqrt6 e \frac{12\sqrt6}{5}+\frac{12\sqrt6}{7} \,\Big/\,2,$$
   故不成立。
8. 8

   選項五

   (5)「$T_3$ 的最大角大於 $T_2$ 的最大角」錯。用最大邊對最大角比較。對 $T_2$，三邊為 $2,3,4$，最大角記為 $\theta_2$，由餘弦定理
   $$\cos\theta_2=\frac{2^2+3^2-4^2}{2\cdot2\cdot3}=\frac{4+9-16}{12}=-\frac14.$$
   對 $T_3$，三邊為 $3,4,5$，最大角記為 $\theta_3$，
   $$\cos\theta_3=\frac{3^2+4^2-5^2}{2\cdot3\cdot4}=\frac{9+16-25}{24}=0.$$
   因為在 $0\le\theta\le\pi$ 中，$\cos\theta$ 越小，角越大，所以 $\theta_2>\theta_3$，因此題述相反，錯。
9. 9

   結論

   逐一判斷後，正確選項為 $(2)(3)$，與官方答案一致。

關鍵觀念：#三角形不等式 #海龍公式 #等差數列