113學測數學A 第9題 詳解

迴歸・標準差 · 單選 · 題目出處：113 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先抓住題目的核心

   這題同時考三件事：一是迴歸直線一定通過樣本平均點 $(\bar{x},\bar{y})$；二是相關係數、迴歸斜率、標準差之間有公式 $b=r\dfrac{s_y}{s_x}$；三是用「點到直線」與「平均點」去判斷選項。先把 A、B 兩物種各自的平均體重與標準差算出來，後面每個選項就能直接判斷。
2. 2

   由迴歸直線求平均體重

   迴歸直線必通過 $(\bar{x},\bar{y})$。所以對 A 物種，$L_A:y=2x-0.6$ 通過 $(5.2,\bar{y}_A)$，代入得
   $$\bar{y}_A=2\times 5.2-0.6=9.8.$$
   對 B 物種，$L_B:y=1.5x+0.4$ 通過 $(6,\bar{y}_B)$，代入得
   $$\bar{y}_B=1.5\times 6+0.4=9.4.$$
3. 3

   由斜率與相關係數求體重標準差

   迴歸直線斜率滿足 $b=r\dfrac{s_y}{s_x}$。先算 A：
   $$2=0.6\cdot \frac{s_{yA}}{0.3}$$
   所以
   $$s_{yA}=2.$$
   再算 B：
   $$1.5=0.3\cdot \frac{s_{yB}}{0.1}$$
   所以
   $$s_{yB}=0.5.$$
   因此 A 的體重標準差大於 B，不是小於。
4. 4

   逐項判斷選項一到三

   (1) 比較平均體重：$\bar{y}_A=9.8$，$\bar{y}_B=9.4$，所以 $\bar{y}_A<\bar{y}_B$ 錯。
   
   (2) 比較體重標準差：$s_{yA}=2$，$s_{yB}=0.5$，所以 A 小於 B 錯。
   
   (3) 對 A 而言，個體 $P(5.6,8.6)$ 的體重與平均體重差為
   $$|8.6-9.8|=1.2.$$
   而 A 的體重標準差是 $2$，所以 $1.2<2$，不是大於一個標準差，故錯。
5. 5

   逐項判斷選項四

   先算 $P$ 到兩條直線的距離。直線 $L_A:y=2x-0.6$ 化為 $2x-y-0.6=0$，距離為
   $$d_A=\frac{|2(5.6)-8.6-0.6|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|11.2-9.2|}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.$$
   直線 $L_B:y=1.5x+0.4$ 化為 $1.5x-y+0.4=0$，距離為
   $$d_B=\frac{|1.5(5.6)-8.6+0.4|}{\sqrt{1.5^2+(-1)^2}}=\frac{|8.4-8.2|}{\sqrt{3.25}}=\frac{0.2}{\sqrt{3.25}}.$$
   因為 $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ 明顯大於 $\dfrac{0.2}{\sqrt{3.25}}$，所以「到 $L_A$ 的距離小於到 $L_B$ 的距離」錯。
6. 6

   逐項判斷選項五並收斂答案

   由前面已得 $(\bar{x}_A,\bar{y}_A)=(5.2,9.8)$，$(\bar{x}_B,\bar{y}_B)=(6,9.4)$。
   
   先算 $P$ 到 A 平均點的距離：
   $$\sqrt{(5.6-5.2)^2+(8.6-9.8)^2}=\sqrt{0.4^2+(-1.2)^2}=\sqrt{1.6}.$$
   再算 $P$ 到 B 平均點的距離：
   $$\sqrt{(5.6-6)^2+(8.6-9.4)^2}=\sqrt{(-0.4)^2+(-0.8)^2}=\sqrt{0.8}.$$
   因為 $\sqrt{1.6}>\sqrt{0.8}$，所以選項 (5) 也錯。綜合判斷，只有選項 (3) 正確，答案選 $(3)$。

關鍵觀念：#迴歸直線 #相關係數 #標準差