113學測數學A 第9題 詳解

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逐步解析

1. 1

   兩把鑰匙

   本題考迴歸直線與相關係數。兩個關鍵性質：一、迴歸直線必通過平均點 $(\bar{x},\bar{y})$；二、迴歸直線斜率 $=r\cdot\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}$（$r$ 為相關係數，$\sigma_x$、$\sigma_y$ 為兩變量的標準差）。五個選項全靠這兩把鑰匙。
2. 2

   求平均體重

   把平均身長代入各自的迴歸線：$\bar{y}_A=2\times 5.2-0.6=9.8$，$\bar{y}_B=1.5\times 6+0.4=9.4$。選項 (1) 說 $\bar{y}_A<\bar{y}_B$，但 $9.8>9.4$，錯。
3. 3

   求體重標準差

   由斜率公式反推：A 物種 $2=0.6\times\dfrac{\sigma_y}{0.3}$ 得 $\sigma_y=1$；B 物種 $1.5=0.3\times\dfrac{\sigma_y}{0.1}$ 得 $\sigma_y=0.5$。選項 (2) 說 A 的體重標準差較小，但 $1>0.5$，錯。選項 (3)：$|8.6-9.8|=1.2>1$，個體 $P$ 的體重與 $\bar{y}_A$ 之差超過一個標準差，對。
4. 4

   算兩種距離

   選項 (4)：點 $(5.6,8.6)$ 到 $L_A:2x-y-0.6=0$ 的距離為 $\dfrac{|2\times 5.6-8.6-0.6|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\approx 0.89$；到 $L_B:1.5x-y+0.4=0$ 的距離為 $\dfrac{|1.5\times 5.6-8.6+0.4|}{\sqrt{1.5^2+1^2}}=\dfrac{0.2}{\sqrt{3.25}}\approx 0.11$，前者較大，錯。選項 (5)：到 $(5.2,9.8)$ 的距離為 $\sqrt{0.4^2+1.2^2}=\sqrt{1.6}\approx 1.26$，到 $(6,9.4)$ 的距離為 $\sqrt{0.4^2+0.8^2}=\sqrt{0.8}\approx 0.89$，前者較大，錯。
5. 5

   結論與誘答

   最誘答的是 (1)：看到 B 的平均身長 $6$ 比 A 的 $5.2$ 大，就直覺以為平均體重也是 B 較大。其實必須用「迴歸線過平均點」代入計算，A 的迴歸線斜率較大，算出來反而是 $\bar{y}_A=9.8$ 較大。故答案選 (3)。

關鍵觀念：#迴歸直線 #相關係數 #標準差