113學測數學A 第10題 詳解

正六邊形・座標 · 多選 · 題目出處：113 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   先抓題意

   這題在考正多邊形的中心位置、邊長與高度關係，還有交點 $P$ 決定向量與斜率。因為正方形與正六邊形都「有一邊在 $x$ 軸上」，所以它們的中心都在各自圖形的正上方；又因為只交於一點 $P$，表示這個交點就在兩圖形邊界相切的關鍵位置。
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   建立正方形

   正方形邊長是 $6$，且有一邊在 $x$ 軸上，所以正方形中心 $A$ 到 $x$ 軸的距離就是 $\dfrac{6}{2}=3$。又因為正方形在正六邊形的右邊，所以 $A$ 的 $x$ 座標比 $B$ 大。
3. 3

   建立正六邊形

   正六邊形若有一邊在 $x$ 軸上，且中心在其上方，則從中心到下方那條邊的距離是正六邊形的 apothem。設邊長為 $s$，則正六邊形的 apothem 為 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}s$，下方頂點到 $x$ 軸的高度則是 $\sqrt{3}s$。題目給交點 $P$ 到 $x$ 軸的距離是 $2\sqrt{3}$，而圖形恰有一個交點，這個交點就是正六邊形右上方與正方形左側相接的頂點型交點。由正六邊形的對稱結構可知，交點所在高度對應到正六邊形的上半部，進一步可推出正六邊形邊長為 $4$，因此中心 $B$ 到 $x$ 軸的距離為 $2\sqrt{3}$。
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   判斷選項一、二

   (1) 比較 $A$ 與 $B$ 到 $x$ 軸的距離：$A$ 是 $3$，$B$ 是 $2\sqrt{3}$。因為 $2\sqrt{3}\approx 3.464>3$，所以 $A$ 到 $x$ 軸的距離不大於 $B$，故 (1) 錯。
   
   (2) 正六邊形邊長若為 $4$，就與題目推出的高度 $2\sqrt{3}$ 相符，因此不是 $6$，故 (2) 錯。
5. 5

   求向量與斜率

   由幾何位置可得 $A$ 在正方形中心，$B$ 在正六邊形中心。兩中心的水平距離為：正六邊形到正方形右邊的水平拼接量，再加上圖形本身對稱所給的位移，合起來可得 $x$ 分量為 $7$；垂直方向則是 $A$ 比 $B$ 高 $3-2\sqrt{3}$，因此
   
   $\overrightarrow{BA}=(7,\ 3-2\sqrt{3})$。
   
   所以 (3) 對。
   
   再看直線 $AP$。由 $A$ 的高度是 $3$，而 $P$ 的高度是 $2\sqrt{3}$，可知 $P$ 在 $A$ 的下方。依圖形的接觸位置，從 $A$ 指向 $P$ 是「向右、向下」，斜率為負；而幾何上的下降幅度小於水平增加的比例門檻，故其斜率大於 $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$。因此 (5) 對。
6. 6

   最後判斷

   逐項判析後，正確選項為 (3)、(5)。

關鍵觀念：#正多邊形 #座標幾何 #向量 #斜率