113學測數學A 第10題 詳解

答案(3)(5)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   定位唯一交點

   本題考正多邊形的坐標幾何。關鍵觀察：正六邊形有一邊在 $x$ 軸上時，它的最右點是「半高處的頂點」（右側兩條邊都往左收回去）；正方形的最左側是一段鉛直邊。兩個凸多邊形恰有一個交點，只能是六邊形的最右頂點 $P$ 恰好貼在正方形的左邊上。
2. 2

   求邊長設坐標

   設六邊形邊長 $t$，最右頂點的高度為 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}t$。由 $P$ 到 $x$ 軸距離 $2\sqrt{3}$ 得 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}t=2\sqrt{3}$，故 $t=4$。取六邊形底邊為 $(0,0)$ 到 $(4,0)$：中心 $B=(2,2\sqrt{3})$（中心高度等於邊心距 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times 4=2\sqrt{3}$）、$P=(6,2\sqrt{3})$；正方形左下角在 $(6,0)$、邊長 6，中心 $A=(9,3)$。
3. 3

   選項一二三

   選項 (1)：$A$ 到 $x$ 軸距離為 $3$，$B$ 的是 $2\sqrt{3}\approx 3.46$，$3<2\sqrt{3}$，錯（別被正方形邊長較大騙了，$A$ 的高度只有邊長的一半）。選項 (2)：六邊形邊長為 $4$，不是 $6$，錯。選項 (3)：$\overrightarrow{BA}=(9-2,\ 3-2\sqrt{3})=(7,\ 3-2\sqrt{3})$，對。
4. 4

   選項四五

   選項 (4)：$\overline{AP}^2=(9-6)^2+(3-2\sqrt{3})^2=9+(21-12\sqrt{3})=30-12\sqrt{3}\approx 9.22<10$，故 $\overline{AP}<\sqrt{10}$，錯。選項 (5)：直線 $AP$ 斜率為 $\dfrac{3-2\sqrt{3}}{9-6}=\dfrac{3-2\sqrt{3}}{3}\approx -0.15$，而 $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx -0.58$，$-0.15>-0.58$，對。
5. 5

   結論

   正確的敘述是 (3) 與 (5)。故答案選 (3)(5)。

關鍵觀念：#正多邊形 #座標幾何 #向量 #斜率

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