114學年鷺江國中第3次段考數學 第2題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把括號的次方拆開

   左邊是一個乘積的次方，可以拆給每個因數：$(3\times25)^6=3^6\times25^6$。注意這一步兩個因數都要各自帶上 $6$ 次方，不能只給其中一個。
2. 2

   把 25 換成 5 的次方

   右邊的底數只有 $3$ 和 $5$，所以要把 $25$ 化成 $5$ 的次方：$25=5^2$。代進去再用次方的次方，指數相乘：$25^6=(5^2)^6=5^{2\times6}=5^{12}$。
3. 3

   比對指數求 a+b

   整理得 $(3\times25)^6=3^6\times5^{12}$。與 $3^a\times5^b$ 比對，同底數的指數要一樣，所以 $a=6$、$b=12$，因此 $a+b=6+12=18$。故選 (D)。
4. 4

   檢查兩條常見的錯路

   若把 $25^6$ 寫成 $5^2$，等於漏掉了外面那個 $6$ 次方，會得到 $a=6$、$b=2$，算出 $a+b=8$，落在 (A)。若把 $25$ 直接當成 $5$，會寫成 $3^6\times5^6$，得到 $a=b=6$，算出 $a+b=12$，落在 (B)。兩種都是在「換底數」這一步出事，換完底數一定要回頭確認外層的次方有沒有一起乘進去。

關鍵觀念：#指數律 #質因數分解

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