111學年鷺江國中第1次段考數學 第10題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先解決前面那個指數

   $3.72\times10^{\alpha}$ 乘開，就是把小數點往右移 $\alpha$ 位。$3.72$ 的整數部分只有 $1$ 位（就是那個 $3$），小數點每往右移一位就多一位整數，所以乘開後的總位數是 $1+\alpha$ 位。題目說結果是 $11$ 位數，於是 $1+\alpha=11$，得 $\alpha=10$。驗算：$3.72\times10^{10}=37200000000$，$3$、$7$、$2$ 後面跟著 $8$ 個 $0$，數一數正好 $11$ 位。
2. 2

   再解決後面那個指數

   $3.14\times10^{\beta}$ 因為 $\beta$ 是負的，乘開是把小數點往左移。往左移 $1$ 位得 $0.314$，小數點後第 $1$ 位就不是 $0$；往左移 $2$ 位得 $0.0314$，要到第 $2$ 位才不是 $0$。規律很清楚：往左移幾位，第一個不為 $0$ 的數字就出現在小數點後第幾位。題目說從第 $7$ 位開始，所以往左移 $7$ 位，$\beta=-7$。驗算：$3.14\times10^{-7}=0.000000314$，小數點後前 $6$ 位都是 $0$，第 $7$ 位是 $3$。
3. 3

   兩個指數相加

   把兩步的結果合起來：$\alpha=10$、$\beta=-7$，所以 $\alpha+\beta=10+(-7)=10-7=3$。這裡是正數加負數，結果的符號跟絕對值大的那個走，$10$ 的絕對值較大，所以答案是正的。
4. 4

   最常見的失誤在哪

   很多人看到「$11$ 位數」就直接把 $11$ 填給指數，寫成 $\alpha=11$，忘了 $3.72$ 的那個 $3$ 本身已經佔掉一位；這樣算下去會得到 $11+(-7)=4$。只要動手寫 $3.72\times10^{11}=372000000000$ 數一遍，會發現那是 $12$ 位數而不是 $11$ 位，指數就知道要退回 $10$。確定 $\alpha=10$、$\beta=-7$ 之後，$\alpha+\beta=3$，故選 (D)。

關鍵觀念：#科學記號 #位數 #整數指數

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