113會考數學 第5題 詳解

等差分層 · 單選 · 題目出處：113 年國中教育會考 數學科（國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心）

逐步解析

1. 1

   看懂題目在考什麼

   這題在考「規律 + 等差數列求和」。題目說聖誕樹有 $10$ 層，而且每一層都由三列便利貼組成。第一層三列從上到下是 $1$、$3$、$5$ 張；同一層每往下一列都多 $2$ 張；而且每往下一層，第一列也都多 $2$ 張。也就是說，每一層其實都是一個等差數列，而且每層的第一項也會跟著往上增加。
2. 2

   先把題目翻成算式

   先把第 $n$ 層的三列寫出來。因為第一層第一列是 $1$ 張，且每往下一層第一列都多 $2$ 張，所以第 $n$ 層第一列是 $1+2(n-1)$ 張。整理後是 $2n-1$ 張。又因為同一層每一列都比前一列多 $2$ 張，所以第 $n$ 層三列分別是
   $2n-1$、$2n+1$、$2n+3$。
3. 3

   算出每一層有幾張

   第 $n$ 層總張數就是三列相加：
   $(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)$
   $=6n+3$。
   所以每一層的張數也形成一個等差數列：
   第 $1$ 層是 $9$ 張，第 $2$ 層是 $15$ 張，第 $3$ 層是 $21$ 張……一直到第 $10$ 層。
4. 4

   把十層全部加總

   因為共有 $10$ 層，所以總張數是
   $9+15+21+\cdots+57$。
   這是首項 $9$、末項 $57$、項數 $10$ 的等差數列。
   用等差級數和公式：
   $S=\dfrac{首項+末項}{2}\times項數$
   $=\dfrac{9+57}{2}\times10$
   $=\dfrac{66}{2}\times10$
   $=33\times10$
   $=330$。
5. 5

   對照選項並確認答案

   算出來總共有 $330$ 張，這樣看起來和選項不一致，表示前面對層數規律的理解還要再核對一次。題目中的「每一層由三列的便利貼拼成」是指每層三列都要依規律增加，而整個圖案共有 $10$ 層。實際上每一層的三列應為：
   第 $1$ 層：$1,3,5$
   第 $2$ 層：$3,5,7$
   第 $3$ 層：$5,7,9$
   ……
   第 $10$ 層：$19,21,23$。
   所以第 $n$ 層總張數是
   $(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)=6n+3$。
   代入 $n=1$ 到 $10$：
   $\sum_{n=1}^{10}(6n+3)=6\sum_{n=1}^{10}n+3\times10$
   $=6\times\dfrac{10\times11}{2}+30$
   $=6\times55+30$
   $=330+30$
   $=360$。
   因此正確答案是 $(B)$ $360$。

關鍵觀念：#等差數列 #分層求和 #規律推理