115學測數學B 第12題 詳解

有兩容器，A 瓶內有含糖 100 公克的紅茶 1000 毫升，B 瓶內有不含糖的紅茶 500 毫升。用以下方式稀釋 A 瓶的甜度：將 A 瓶混合均勻後，倒出 500 毫升至 B 瓶，再將 B 瓶混合均勻後，倒 500 毫升回 A 瓶，稱此為一次稀釋。重複此稀釋動作，令第 $n$ 次稀釋完，A 瓶的含糖量為 $a_n$ 公克。試選出正確的選項。
(1) $a_1=75$
(2) 第 $n$ 次稀釋完，B 瓶的含糖量為 $50-\dfrac{1}{2}a_n$ 公克
(3) $a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{1}{2}\left(100-\dfrac{1}{2}a_n\right)$
(4) 可找到實數 $c$ 滿足數列 $\langle a_n-c\rangle$ 為公比是 $\dfrac{1}{4}$ 的等比數列
(5) 第 100 次稀釋完，A 瓶的含糖量小於 60 公克