112學年鷺江國中第1次段考數學 第19題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把題目拆成兩個條件

   四個數依序是 $-2$、$a$、$b$、$18$。「前 $3$ 數成等差數列」指的是 $-2$、$a$、$b$；「後 $3$ 數成等比數列」指的是 $a$、$b$、$18$。兩個條件必須同時成立。
2. 2

   用等差條件把 b 換成 a

   等差數列中相鄰兩項的差相等：$a-(-2)=b-a$，即 $a+2=b-a$，移項得 $b=2a+2$。
3. 3

   用等比條件列方程式

   $a$、$b$、$18$ 成等比數列，中間項滿足 $b^2=a\times18$。把 $b=2a+2$ 代進去：$(2a+2)^2=18a$，展開得 $4a^2+8a+4=18a$，移項整理成 $4a^2-10a+4=0$，兩邊同除以 $2$ 得 $2a^2-5a+2=0$。
4. 4

   解方程式並用整數條件篩選

   因式分解：$(2a-1)(a-2)=0$，所以 $a=\dfrac{1}{2}$ 或 $a=2$。題目說 $a$、$b$ 都是整數，$a=\dfrac{1}{2}$ 不是整數，要捨去，因此 $a=2$。
5. 5

   求 b 並驗算

   $b=2\times2+2=6$。驗算：$-2$、$2$、$6$ 相鄰兩項的差都是 $4$，成等差數列；$2$、$6$、$18$ 的比值都是 $3$，成等比數列，兩個條件都符合。所以 $a\times b=2\times6=12$。

關鍵觀念：#等差數列 #等比數列

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