114學年鷺江國中第1次段考數學 第17題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先算總共有幾項

   在 $20$ 和 $60$ 之間放入 $n$ 個數，整串數列的頭是 $20$、尾是 $60$，中間多了 $n$ 個，所以總項數是 $n+2$。這裡的 $n$ 只算插進去的數，頭尾兩個要另外補上。
2. 2

   用頭尾相加列出總和

   等差數列的和是「首項加末項，乘上項數，再除以 $2$」。首項 $20$、末項 $60$、項數 $n+2$，所以總和為 $\dfrac{(n+2)\times(20+60)}{2}=\dfrac{80(n+2)}{2}=40(n+2)$。
3. 3

   解出 n

   依題意總和是 $360$，令 $40(n+2)=360$，兩邊除以 $40$ 得 $n+2=9$，所以 $n=7$。
4. 4

   把數列列出來驗算

   共 $9$ 項，從 $20$ 到 $60$ 中間有 $9-1=8$ 個間隔，公差為 $\dfrac{60-20}{8}=5$。數列是 $20,25,30,35,40,45,50,55,60$，中間確實插了 $7$ 個數，總和 $=\dfrac{9\times80}{2}=360$，完全吻合。所以 $n=7$。

關鍵觀念：#等差數列 #插入項 #數列和

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