114學年鷺江國中第1次段考數學 第16題 詳解

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逐步解析

1. 1

   列出等比中項的關係

   $5+x,\ 7+x,\ 10+x$ 成等比，表示後項除以前項相等：$\dfrac{7+x}{5+x}=\dfrac{10+x}{7+x}$。交叉相乘得 $(7+x)^2=(5+x)(10+x)$，也就是「中間項的平方等於前後兩項相乘」。
2. 2

   兩邊各自展開

   左邊 $(7+x)^2=x^2+14x+49$；右邊 $(5+x)(10+x)=50+5x+10x+x^2=x^2+15x+50$。列成等式：$x^2+14x+49=x^2+15x+50$。
3. 3

   消去平方項解出 x

   兩邊都有 $x^2$，可以互相抵消，剩下 $14x+49=15x+50$。移項得 $49-50=15x-14x$，即 $-1=x$，所以 $x=-1$。這也是為什麼這題雖然出現平方，最後還是一次方程式。
4. 4

   代回去檢查

   把 $x=-1$ 代回三個數：$5+(-1)=4$、$7+(-1)=6$、$10+(-1)=9$。檢查公比：$\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$、$\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$，兩個比值相同，$4,6,9$ 確實成等比。所以 $x=-1$。

關鍵觀念：#等比數列

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