108學年鷺江國中第1次段考數學 第15題 詳解

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逐步解析

1. 1

   求公差與首項

   第 $4$ 項走到第 $12$ 項，中間隔了 $12-4=8$ 個公差，所以 $8d=29-(-3)=32$，得 $d=4$。再往回推：$a_1=a_4-3d=-3-3\times4=-15$。
2. 2

   寫出前 n 項和

   第 $n$ 項是 $a_n=-15+(n-1)\times4=4n-19$。代入求和公式：$$S_n=\frac{(a_1+a_n)\times n}{2}=\frac{(-15+4n-19)\times n}{2}=\frac{(4n-34)n}{2}=n(2n-17)$$
3. 3

   解出項數

   令 $n(2n-17)=1290$。$n$ 是正整數，而且 $n$ 越大乘積越大，直接試最接近的幾個：$n=29$ 時 $29\times41=1189$，太小；$n=30$ 時 $30\times43=1290$，剛好；$n=31$ 時 $31\times45=1395$，太大。所以 $n=30$，這個等差級數共有 $30$ 項。

關鍵觀念：#等差級數 #求和 #項數

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