113學年鷺江國中第1次段考數學 第7題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先寫對末項與求和公式

   這是 $9$ 項的等差級數。末項 $a_9=a_1+8d$——第 $9$ 項是從第 $1$ 項往後跨 $8$ 次，加的是 $8$ 個公差，不是 $9$ 個。求和公式是 $S_9=\frac{(a_1+a_9)\times 9}{2}$。
2. 2

   檢查前兩個式子

   (B) 就是求和公式原樣搬過來，沒問題。(A) 把 $a_9=a_1+8d$ 代入：$a_1+a_9=a_1+(a_1+8d)=2a_1+8d$，所以 $S_9=\frac{(2a_1+8d)\times 9}{2}$，也沒問題。
3. 3

   檢查中間項那一式

   (C) 用的是「項數為奇數時，中間項就是平均」。$9$ 項的正中間是第 $5$ 項，首尾兩兩配對：$a_1+a_9=2a_5$、$a_2+a_8=2a_5$、$a_3+a_7=2a_5$、$a_4+a_6=2a_5$，共 $4$ 對，再加上中間的 $a_5$，總和是 $4\times 2a_5+a_5=9a_5$。所以 $S_9=a_5\times 9$ 成立。
4. 4

   找出錯的那一個

   (D) 寫成 $\frac{(2a_1+9d)\times 9}{2}$，裡面的 $9d$ 應該是 $8d$。拿 $a_1=1$、$d=1$ 驗算：真正的總和是 $1+2+\cdots+9=45$，而 (D) 算出 $\frac{(2\times 1+9\times 1)\times 9}{2}=\frac{11\times 9}{2}=49.5$，對不上。故選 (D)。

關鍵觀念：#等差級數 #求和公式

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