111學年鷺江國中第1次段考數學 第22題 詳解

答案$-19$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   把 20 項分成兩組

   奇數項是第 $1,3,5,\cdots,19$ 項，共 $10$ 項；偶數項是第 $2,4,6,\cdots,20$ 項，也是 $10$ 項。設這個等差數列的首項為 $a$、公差為 $d$。
2. 2

   兩組相減求公差

   把偶數項和奇數項一一配對：第 $2$ 項減第 $1$ 項是 $d$、第 $4$ 項減第 $3$ 項也是 $d$……一共 $10$ 對。所以偶數項和減奇數項和 $=10d$。由題目 $10-(-10)=20$，得 $10d=20$，$d=2$。
3. 3

   奇數項自己的公差

   把第 $1,3,5,\cdots,19$ 項單獨拿出來，它們也成等差數列，但相鄰兩項在原數列裡隔了兩步，所以公差是 $2d=4$，首項仍然是 $a$，共 $10$ 項。這一步最容易被忽略。
4. 4

   用級數公式求首項

   這 $10$ 項的末項是 $a+4\times9=a+36$，和 $=\frac{10\times[a+(a+36)]}{2}=5\times(2a+36)=10a+180$。令它等於 $-10$：$10a+180=-10$，$10a=-190$，$a=-19$。
5. 5

   代回去驗算

   首項 $-19$、公差 $2$。奇數項是 $-19,-15,-11,-7,-3,1,5,9,13,17$，頭尾配對 $(-19)+17=-2$，共 $5$ 組得 $5\times(-2)=-10$；偶數項是 $-17,-13,-9,-5,-1,3,7,11,15,19$，頭尾配對 $(-17)+19=2$，共 $5$ 組得 $10$。兩個條件都成立，所以首項是 $-19$。

關鍵觀念：#等差數列 #奇偶項和

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