112學年鷺江國中第1次段考數學 第14題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把條件翻成式子

   級數共 $10$ 項，設首項為 $a_1$、公差為 $d$，末項就是 $a_{10}$。「首項比末項小 $27$」的意思是 $a_{10}-a_1=27$。
2. 2

   用一般項求公差

   $a_{10}=a_1+9d$，所以 $a_{10}-a_1=9d$。代入條件得 $9d=27$，因此 $d=3$。注意從第 $1$ 項走到第 $10$ 項只加了 $9$ 次公差，不是 $10$ 次。
3. 3

   用總和把首末項求出來驗算

   $S_{10}=\dfrac{(a_1+a_{10})\times10}{2}=5(a_1+a_{10})=-195$，所以 $a_1+a_{10}=-39$。再配合 $a_{10}-a_1=27$，兩式相加得 $2a_{10}=-12$，即 $a_{10}=-6$；回代得 $a_1=-39-(-6)=-33$。
4. 4

   回頭確認公差

   從 $a_1=-33$ 到 $a_{10}=-6$ 中間有 $9$ 個公差，$d=\dfrac{-6-(-33)}{9}=\dfrac{27}{9}=3$，與前面算的一致。所以這個等差級數的公差是 $3$。

關鍵觀念：#等差級數 #公差

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